ITA 2016 — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: julgar três afirmações sobre duas estrelas girando em torno do centro de massa comum.

Passo 1 — afirmação I: o centro de massa fica sempre na reta que liga as estrelas, entre elas, e está parado (não há força externa). Então as duas estrelas ficam sempre em lados opostos do centro de massa: dão a volta juntas, com a mesma velocidade angular e o mesmo período. Verdadeira.

Passo 2 — afirmação II: chame de $d$ a distância entre as estrelas, $m_1$ e $m_2$ as massas. A estrela 1 gira num círculo de raio $R_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\,d$, e a força gravitacional é a resultante centrípeta:

$$\frac{G m_1 m_2}{d^2} = m_1\,\omega^2 \frac{m_2\, d}{m_1+m_2}$$

$$\omega^2 = \frac{G(m_1+m_2)}{d^3}$$

Então $T = 2\pi\sqrt{d^3/[G(m_1+m_2)]}$: depende só de $G$, da massa total e da distância. Verdadeira.

Passo 3 — afirmação III: num movimento circular de raio $R$ e velocidade angular $\omega$, a área varrida por unidade de tempo é $\frac{1}{2}R^2\omega$. Os $\omega$ são iguais, mas os raios não: $R_1/R_2 = m_2/m_1$. As áreas só seriam iguais se as massas fossem iguais, o que o enunciado não diz. Falsa (em geral).

⚠️ A armadilha: “lembrar” da 2ª lei de Kepler e marcar III como verdadeira (alternativa E). Kepler diz que cada vetor varre áreas iguais em tempos iguais ao longo da própria órbita; não diz que os dois vetores varrem a mesma área. A estrela de menor massa, mais longe do centro de massa, varre área maior.

A ideia em uma frase: no sistema binário as duas estrelas têm o mesmo período, que depende só de G, da massa total e da distância; os raios das órbitas é que são diferentes.

Resposta: alternativa D (apenas I e II).