ITA 2016 — questão 17 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o menor raio de curvatura interno $R$ para que todos os raios do feixe, que vêm paralelos ao eixo, sofram reflexão total na curva.

Passo 1 — a geometria da curva: a parede interna da curva tem raio $R$ e a externa tem raio $R + d$, com o mesmo centro $O$. Um raio que entra na curva paralelo ao eixo, a uma distância $r$ do centro (com $R \le r \le R + d$), atinge a parede externa. O ângulo de incidência $\theta$ (com a normal, que é o raio $O$-ponto) obedece a:

$$\sin\theta = \frac{r}{R + d}$$

Passo 2 — o raio mais perigoso: quanto menor $r$, menor o ângulo de incidência, e mais difícil a reflexão total. O pior caso é o raio que vem rente à parede interna, $r = R$ (o da figura).

Passo 3 — a condição de reflexão total: o ângulo de incidência tem de ser pelo menos o ângulo limite, $\sin\theta \ge 1/n$:

$$\frac{R}{R + d} \ge \frac{1}{n} \Rightarrow nR \ge R + d$$

$$R \ge \frac{d}{n - 1}$$

Conferindo pelos casos-limite: se $n \to 1$ (vidro quase igual ao ar), a reflexão total fica difícil e $R$ precisa ser enorme; se $n$ é grande, qualquer curva serve. A fórmula $d/(n-1)$ faz exatamente isso.

⚠️ A armadilha: tomar $R$ como o raio da parede externa. Aí a condição vira $(R - d)/R \ge 1/n$, que dá $R \ge nd/(n-1)$ (alternativa D). A figura indica o raio interno.

A ideia em uma frase: na curva da fibra, o raio rente à parede interna é o que bate na parede externa com o menor ângulo; se ele sofrer reflexão total, todos sofrem.

Resposta: alternativa C ($d/(n-1)$).