ITA 2016 — questão 16 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre os raios das cordas para que elas tenham a mesma frequência fundamental.

Passo 1 — a frequência fundamental: numa corda de comprimento $L$, com tração $T$ e densidade linear $\mu$:

$$f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

A densidade linear é massa por comprimento: $\mu = \rho\, \pi r^2$ ($\rho$ é a densidade do material).

Passo 2 — igualar: mesmo $L$ e mesma $f$ significam mesmo $T/\mu$:

$$\frac{T}{\rho_C\,\pi r_C^2} = \frac{T/3}{\rho_F\,\pi r_F^2}$$

$$\frac{r_C^2}{r_F^2} = \frac{3\,\rho_F}{\rho_C} = \frac{3}{1{,}15} \approx 2{,}61$$

$$\frac{r_C}{r_F} \approx 1{,}6$$

Conferindo: a corda de cobre está com o triplo da tração; para ter a mesma frequência, precisa ser mais “pesada” por metro, isto é, mais grossa. Razão maior que 1, coerente.

⚠️ A armadilha: inverter a razão e calcular $r_F/r_C \approx 0{,}62$ (alternativa B). Pela conferência, o cobre, com mais tração, tem de ser o mais grosso.

A ideia em uma frase: mesma frequência e mesmo comprimento exigem a mesma razão entre tração e densidade linear, e a densidade linear cresce com o quadrado do raio.

Resposta: alternativa D (1,6).