ITA 2016 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o maior $M$ que a treliça aguenta sem que nenhuma barra passe do limite (tração até $1{,}5 \times 10^4$ N, compressão até $5{,}0 \times 10^3$ N).

Passo 1 — a geometria: metade da base é 3,0 m e a altura é 4,0 m, então cada barra inclinada mede 5,0 m (triângulo 3-4-5). Para a barra inclinada: $\sin\theta = 4/5$ (vertical) e $\cos\theta = 3/5$ (horizontal), sendo $\theta$ o ângulo com a horizontal.

Passo 2 — as reações dos apoios: o rolete em $R$ só faz força vertical. Como não há nenhuma força horizontal externa, o apoio $P$ também só faz força vertical. Pela simetria, cada apoio segura metade do peso: $Mg/2$.

Passo 3 — equilíbrio do pino $Q$: o peso $Mg$ puxa $Q$ para baixo; as duas barras inclinadas empurram $Q$ para cima (estão comprimidas), cada uma com força $C$. Só as componentes verticais seguram o peso:

$$2\,C \sin\theta = Mg$$

$$C = \frac{Mg}{2 \cdot 0{,}8} = \frac{5\,Mg}{8}$$

Passo 4 — equilíbrio do pino $R$: a barra inclinada empurra $R$ para baixo e para fora (para a direita), com componente horizontal $C\cos\theta$. Quem segura essa componente é a base, que fica tracionada com força $T$:

$$T = C\cos\theta = \frac{5Mg}{8}\cdot\frac{3}{5} = \frac{3\,Mg}{8}$$

(No vertical, $C\sin\theta = Mg/2$, que é exatamente a reação do rolete. Confere.)

Passo 5 — aplicar os limites: compressão nas inclinadas:

$$\frac{5Mg}{8} \le 5{,}0 \times 10^3$$

$$Mg \le 8{,}0 \times 10^3\ \text{N}$$

Tração na base:

$$\frac{3Mg}{8} \le 1{,}5 \times 10^4$$

$$Mg \le 4{,}0 \times 10^4\ \text{N}$$

Vale o limite mais restritivo: $Mg = 8{,}0 \times 10^3$ N, ou seja, $M = 8{,}0 \times 10^2$ kg. Quem “estoura” primeiro são as barras inclinadas, por compressão.

⚠️ A armadilha: trocar os papéis, achando que as inclinadas estão tracionadas. Usando $1{,}5 \times 10^4$ N nelas: $Mg = 8 \times 1{,}5 \times 10^4 / 5 = 2{,}4 \times 10^4$ N, $M = 2{,}4 \times 10^3$ kg (alternativa D). E quem esquece que são duas barras dividindo o peso ($C \sin\theta = Mg$) chega a $Mg = 4{,}0 \times 10^3$ N, $M = 4{,}0 \times 10^2$ kg (alternativa B).

A ideia em uma frase: numa treliça, faça o equilíbrio de cada pino, descubra quem está comprimido e quem está tracionado, e compare cada barra com o limite do seu tipo de esforço.

Resposta: alternativa C ($8{,}0 \times 10^2$ kg).