ITA 2016 — questão 15 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o menor coeficiente de atrito $\mu$ para a placa ficar parada sobre a esfera.

Passo 1 — o centro de gravidade: pela figura, os dois trechos da placa têm comprimento $2a$ (o diâmetro), então cada um pesa $P/2$. Tomando o centro $O$ da esfera como origem, o centro do trecho horizontal fica bem acima de $O$ e o do vertical fica à esquerda de $O$, na mesma altura. O centro de gravidade da placa está a $a/2$ à esquerda e $a/2$ acima de $O$.

Passo 2 — as forças: no contato de cima, a normal $N_1$ (vertical, para cima) e o atrito $f_1$ (horizontal). No contato da esquerda, a normal $N_2$ (horizontal, empurrando a placa para a esquerda) e o atrito $f_2$ (vertical). E o peso $P$.

Passo 3 — as equações de equilíbrio: horizontal, o atrito de cima equilibra a normal da esquerda; vertical, normal de cima e atrito da esquerda seguram o peso:

$$f_1 = N_2 \qquad N_1 + f_2 = P$$

Torques em relação ao centro $O$: as normais são radiais e passam por $O$ (torque zero). Os dois atritos são tangentes à esfera (braço $a$) e o peso tem braço $a/2$:

$$f_1\,a + f_2\,a = P\,\frac{a}{2} \Rightarrow f_1 + f_2 = \frac{P}{2}$$

Passo 4 — o coeficiente mínimo: com $\mu$ mínimo, os dois contatos estão no limite de escorregar ao mesmo tempo (se um deles tivesse folga, daria para redistribuir as forças e baixar $\mu$): $f_1 = \mu N_1$ e $f_2 = \mu N_2$. Como $N_2 = f_1$, vem $f_2 = \mu f_1$. Da equação dos torques:

$$f_1(1 + \mu) = \frac{P}{2}$$

Da vertical, $N_1 = P - \mu f_1$, e $f_1 = \mu N_1$ dá $f_1(1 + \mu^2) = \mu P$. Dividindo uma pela outra:

$$\frac{1 + \mu^2}{1 + \mu} = 2\mu$$

$$\mu^2 + 2\mu - 1 = 0$$

$$\mu = \sqrt{2} - 1 \approx 0{,}41$$

Conferindo: com $\mu = \sqrt2 - 1$: $f_1 = P/(2\sqrt2)$, $N_2 = f_1$, $f_2 = \mu f_1$ e $N_1 = P - f_2$; as razões $f_1/N_1$ e $f_2/N_2$ dão as duas $\sqrt2 - 1$. Tudo fecha.

⚠️ A armadilha: tratar só um dos contatos, como se a placa estivesse pendurada só no topo ou só encostada do lado. Os dois atritos trabalham juntos, e é a equação dos torques que amarra um ao outro.

A ideia em uma frase: em apoio sobre superfície curva, tome torques em relação ao centro da curva: as normais somem da conta e sobram só os atritos e o peso.

Resposta: alternativa C ($\sqrt{2} - 1$).