ITA 2016 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão $\beta = v/c$ da nave para que a luz de 600 nm seja vista com 400 nm.

Passo 1 — por que relatividade: a velocidade necessária é uma fração grande da velocidade da luz, e para a luz não há “meio” de propagação. Vale o efeito Doppler relativístico. Para observador e fonte se aproximando:

$$\lambda_{\text{obs}} = \lambda_0\sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}$$

Passo 2 — a conta: $\lambda_{\text{obs}}/\lambda_0 = 400/600 = 2/3$. Elevando ao quadrado:

$$\frac{1 - \beta}{1 + \beta} = \frac{4}{9}$$

$$9 - 9\beta = 4 + 4\beta \Rightarrow \beta = \frac{5}{13}$$

Conferindo: com $\beta = 5/13$: $(1 - \beta)/(1 + \beta) = (8/13)/(18/13) = 4/9$, e a raiz é $2/3$. Confere.

⚠️ A armadilha: usar a fórmula clássica (para o som), $\lambda_{\text{obs}} = \lambda_0(1 - \beta)$. Ela dá $1 - \beta = 2/3$, $\beta = 1/3$ (alternativa A). Para velocidades que são fração apreciável de $c$, a fórmula relativística é obrigatória.

A ideia em uma frase: para a luz, o Doppler é relativístico: quando fonte e observador se aproximam, a razão entre os comprimentos de onda é a raiz de (1 − β)/(1 + β).

Resposta: alternativa E (5/13).