ITA 2016 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão $A_1/A_2$ entre a amplitude da oscilação logo depois que o bloco é solto ($A_1$) e a amplitude depois que o bloco cai e gruda na plataforma ($A_2$). A plataforma é tratada como de massa desprezível (o enunciado não dá a massa dela).

Passo 1 — a constante da mola: com só o bloco, a mola segura $mg$. Com a pessoa segurando o bloco, segura $(M+m)g$. O acréscimo de força é $Mg$ e a plataforma desce $d$:

$$k\,d = M g \Rightarrow k = \frac{Mg}{d}$$

Passo 2 — a primeira oscilação: ao soltar o bloco, a mola passa a segurar só $Mg$; a nova posição de equilíbrio fica $mg/k$ acima. A plataforma parte do repouso, então essa distância é a amplitude:

$$A_1 = \frac{mg}{k} = \frac{m\,d}{M}$$

O período é $T = 2\pi\sqrt{M/k} = 2\pi\sqrt{d/g}$. Depois de uma oscilação completa, a plataforma volta ao ponto mais baixo, parada.

Passo 3 — o bloco chega: para o bloco tocar a plataforma exatamente nesse instante, ele precisa cair a altura $h$ em um período. Ele chega com velocidade $v = \sqrt{2gh}$.

Passo 4 — o choque totalmente inelástico: durante o choque, rápido, a quantidade de movimento se conserva (a plataforma e a pessoa estavam paradas):

$$V = \frac{m\,v}{M+m}$$

Passo 5 — a segunda oscilação: com a pessoa e o bloco sobre a plataforma, a mola volta a segurar $(M+m)g$, cuja posição de equilíbrio é justamente o ponto mais baixo, onde ocorre o choque. Então o sistema parte do equilíbrio com velocidade $V$, e a amplitude é $A_2 = V/\omega_2$, com $\omega_2 = \sqrt{k/(M+m)}$:

$$A_2 = \frac{m v}{\sqrt{k(M+m)}}$$

$$A_2 = m\sqrt{\frac{2hd}{M(M+m)}}$$

Passo 6 — a razão:

$$\frac{A_1}{A_2} = \frac{\sqrt{(M+m)\,d}}{\sqrt{2hM}}$$

Conferindo por outro caminho: a condição do Passo 3 amarra $h$ a $d$: $h = gT^2/2 = 2\pi^2 d$. Substituindo, a razão fica $\sqrt{M+m}/(2\pi\sqrt{M})$, sem $h$ nem $d$. Também não aparece nas alternativas (a A tem $\sqrt{2\pi}$ no lugar de $2\pi$).

Por que não as alternativas: a E tem a forma certa, mas sem o fator 2 dentro da raiz do denominador; a D tem $M - m$ no lugar de $M + m$; B e C têm $h$ e $d$ trocados; a A não bate com $\sqrt{M+m}/(2\pi\sqrt{M})$. Nenhuma é igual ao resultado.

⚠️ A armadilha: esquecer que, depois do choque, o sistema parte da posição de equilíbrio (a mola volta a ter a carga $(M+m)g$). Toda a amplitude nova vem da velocidade $V$ que o choque dá à plataforma, e não de algum deslocamento inicial.

A ideia em uma frase: amplitude de quem parte do repouso é a distância até o novo equilíbrio; amplitude de quem parte do equilíbrio é a velocidade dividida pela frequência angular.

Resposta: questão anulada pelo ITA no gabarito oficial. A física dá $A_1/A_2 = \sqrt{(M+m)d}/\sqrt{2hM}$ (ou $\sqrt{M+m}/(2\pi\sqrt{M})$, usando $h = 2\pi^2 d$), que não aparece em nenhuma alternativa; a E é a que mais se aproxima, mas falta o fator 2. Além disso, o enunciado trata $h$ e $d$ como independentes, quando a própria situação exige $h = 2\pi^2 d$.