ITA 2018 — questão 8 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: como varia, do km 11 ao km 20, a velocidade média calculada sobre os 9 km anteriores.

Passo 1 — velocidade média é distância sobre tempo. O computador divide 9 km pelo tempo gasto nesses 9 km. Não é a média aritmética das velocidades: os quilômetros feitos devagar demoram mais e pesam mais.

Passo 2 — o valor no km 20. A janela vai do km 11 ao 20, e a velocidade sobe de 10 a 100 km/h. Supondo que, em cada quilômetro, a velocidade vá de um ponto ao seguinte, o tempo nesse quilômetro está entre 1/(velocidade maior) e 1/(velocidade menor). Somando:

$$t_{\min} = \tfrac{1}{20} + \tfrac{1}{30} + \ldots + \tfrac{1}{100} \approx 0{,}193\ \text{h}$$

$$t_{\max} = \tfrac{1}{10} + \tfrac{1}{20} + \ldots + \tfrac{1}{90} \approx 0{,}283\ \text{h}$$

Então a média no km 20 fica entre $9/0{,}283 \approx 32$ km/h e $9/0{,}193 \approx 47$ km/h. Com a velocidade variando linearmente em cada quilômetro, a conta exata dá cerca de 39 km/h. Em qualquer caso, abaixo de 50 km/h: sobram C e E.

Passo 3 — a forma da curva. No começo (km 12, 13, 14), a janela de 9 km ainda é quase toda feita a 10 km/h: só os últimos 1, 2 ou 3 km foram mais rápidos, e eles duram pouco. Por exemplo, no km 14 a janela tem 6 km a 10 km/h (0,6 h) e 3 km acelerando (cerca de 0,14 h), e a média é só $9/0{,}74 \approx 12$ km/h. A média só dispara no fim, quando os quilômetros lentos saem da janela. A curva começa quase horizontal e sobe cada vez mais rápido: é a cheia de baixo.

Conferindo: com velocidade linear em cada quilômetro, a média no km x (entre 11 e 20) é $\bar{v} = 90/[20 - x + \ln(x - 10)]$ km/h, que dá cerca de 14 km/h no km 15, 22 km/h no km 18 e 39 km/h no km 20 — exatamente a curva cheia de baixo.

Por que não as outras: as três que terminam em torno de 70 km/h (A, B e D) estão altas demais, porque pesam os quilômetros rápidos como se durassem o mesmo tempo que os lentos. A tracejada de baixo (C) termina no valor certo, mas sobe depressa logo no início: no km 14 ela já marca cerca de 25 km/h, o dobro do correto.

⚠️ A armadilha: fazer a média aritmética das velocidades da janela. No km 20, $(20 + 30 + \ldots + 100)/9 = 60$ km/h, acima de 50, levando para as curvas de cima. Velocidade média é distância total sobre tempo total.

A ideia em uma frase: velocidade média é distância dividida pelo tempo — os trechos lentos duram mais e dominam a média, por isso ela cresce devagar e fica bem abaixo da velocidade instantânea.

Resposta: alternativa E (a cheia que termina abaixo de 50 km/h).