ITA 2018 — questão 14 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: onde pôr a vela, entre os dois espelhos, para que as duas imagens tenham o mesmo tamanho.

Passo 1 — o aumento linear. Da equação de Gauss, o aumento de um espelho é $A = \frac{f}{f - p}$, com f positivo no côncavo e negativo no convexo. Mesmo tamanho quer dizer mesmo |A|:

$$\text{côncavo } (f = 16):\quad A_1 = \frac{16}{16 - p_1}$$

$$\text{convexo } (f = -16):\quad A_2 = \frac{16}{16 + p_2}$$

Passo 2 — igualar os módulos, com $p_1 + p_2 = 50$ (a vela está entre os espelhos):

$$|16 - p_1| = 16 + p_2$$

• Se $p_1 < 16$: $16 - p_1 = 16 + p_2$ daria $p_1 = -p_2$, impossível.

• Se $p_1 > 16$: $p_1 - 16 = 16 + p_2$, ou seja, $p_1 - p_2 = 32$.

$$p_1 + p_2 = 50 \;\text{e}\; p_1 - p_2 = 32$$

$$p_1 = 41\ \text{cm}, \qquad p_2 = 9\ \text{cm}$$

Conferindo: $A_1 = 16/(16 - 41) = -0{,}64$ (imagem real, invertida) e $A_2 = 16/(16 + 9) = +0{,}64$ (imagem virtual, direita). Mesmo tamanho, 0,64 vez o da vela. Nas outras opções os módulos não batem: em E, por exemplo, 0,67 contra 0,62.

⚠️ A armadilha: usar f = +16 nos dois espelhos, esquecendo que o convexo tem foco virtual. Aí a condição fica $|16 - p_1| = |16 - p_2|$, satisfeita com a vela no meio (25 e 25, alternativa A). Mas o convexo sempre dá imagem menor que o objeto, e com 25 cm o côncavo dá imagem maior: não podem ser iguais.

A ideia em uma frase: no convexo o foco é negativo — e a imagem do côncavo só fica do tamanho da do convexo (menor que a vela) se a vela estiver além do centro de curvatura do côncavo.

Resposta: alternativa B (41 cm de $E_1$ e 9 cm de $E_2$).