ITA 2018 — questão 16 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto cada massa desce quando a mola de baixo é retirada, e a razão entre esses deslocamentos.

Passo 1 — a situação inicial. Sejam k a constante das molas, m cada massa e $x_1$, $x_2$, $x_3$ as deformações (positivo = esticada) das molas de cima, do meio e de baixo. Como o comprimento total é fixo em $3\ell$:

$$x_1 + x_2 + x_3 = 0$$

Equilíbrio de cada massa (a mola de cima puxa para cima; a de baixo, se esticada, puxa para baixo):

$$k x_1 = k x_2 + mg$$

$$k x_2 = k x_3 + mg$$

Escrevendo tudo em função de $x_2$: $x_1 = x_2 + mg/k$ e $x_3 = x_2 - mg/k$. Somando, $3x_2 = 0$:

$$x_1 = \frac{mg}{k}, \quad x_2 = 0, \quad x_3 = -\frac{mg}{k}$$

A mola de cima está esticada, a do meio está relaxada e a de baixo está comprimida, empurrando a massa inferior para cima.

Passo 2 — sem a mola de baixo. Agora as duas massas ficam penduradas: a mola do meio segura uma massa, a de cima segura as duas:

$$x_2{}^{\prime} = \frac{mg}{k}, \qquad x_1{}^{\prime} = \frac{2mg}{k}$$

Passo 3 — os deslocamentos. A massa de cima desce o quanto a mola de cima esticou a mais. A de baixo desce isso mais o quanto a mola do meio esticou a mais:

$$d_1 = \frac{2mg}{k} - \frac{mg}{k} = \frac{mg}{k}$$

$$d_2 = d_1 + \left(\frac{mg}{k} - 0\right) = \frac{2mg}{k}$$

$$\frac{d_2}{d_1} = 2$$

⚠️ A armadilha: supor que, no início, a mola de baixo está relaxada (como se só "encostasse" no solo). Aí as outras duas já estariam esticadas, o conjunto não caberia em $3\ell$, e ao tirar a mola de baixo nada mudaria. A restrição do comprimento total é que obriga a distribuição simétrica: a de cima esticada mg/k, a de baixo comprimida mg/k.

A ideia em uma frase: entre o solo e o teto, o comprimento total amarra as deformações; tirada a mola de baixo, cada mola passa a segurar o peso de tudo o que está abaixo dela.

Resposta: alternativa A ($d_2/d_1 = 2$).