ITA 2018 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: se a bola passa a rede (que está a 9 m da sacadora, no meio da quadra de 18 m) e onde ela cai.

Passo 1 — a equação da trajetória. Sem resistência do ar, a bola faz um lançamento oblíquo. Eliminando o tempo entre $x = v_0\cos\theta\, t$ e $y = y_0 + v_0\,\text{sen}\,\theta\, t - g t^2/2$:

$$y = y_0 + x\tan\theta - \frac{g\,x^2}{2\,v_0^2\cos^2\theta}$$

Passo 2 — os valores de 15°. Não estão no quadro, mas saem de 30°: $\tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3} \approx 0{,}268$ e $\cos^2 15^{\circ} = \frac{1 + \cos 30^{\circ}}{2} \approx 0{,}933$. O coeficiente do termo em x² fica:

$$\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} = \frac{10}{2 \times 144 \times 0{,}933}$$

$$\frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\theta} \approx 0{,}0372\ \text{m}^{-1}$$

$$y \approx 3 + 0{,}268\,x - 0{,}0372\,x^2$$

Passo 3 — a altura na rede (x = 9 m):

$$y(9) \approx 3 + 2{,}41 - 3{,}01 = 2{,}40\ \text{m}$$

Como 2,40 m > 2,24 m, a bola passa a rede, com uns 16 cm de folga.

Passo 4 — onde ela cai (y = 0):

$$0{,}0372\,x^2 - 0{,}268\,x - 3 = 0$$

$$x = \frac{0{,}268 + \sqrt{0{,}072 + 0{,}447}}{0{,}0744}$$

$$x \approx \frac{0{,}268 + 0{,}720}{0{,}0744} \approx 13{,}3\ \text{m}$$

A bola cai a 13,3 m da linha de saque, ou seja, 4,3 m depois da rede e antes da linha de fundo adversária (que está a 18 m).

Conferindo pelo tempo: $v_x = 12\cos 15^{\circ} \approx 11{,}6$ m/s e $v_y = 12\,\text{sen}\,15^{\circ} \approx 3{,}1$ m/s. Até a rede, $t = 9/11{,}6 \approx 0{,}78$ s, e $y = 3 + 3{,}1 \times 0{,}78 - 5 \times 0{,}78^2 \approx 2{,}4$ m. Mesmo resultado.

⚠️ A armadilha: achar que, com um ângulo pequeno, dá para tratar o saque como horizontal. Sem os 15°, a bola chegaria à rede a só $3 - 5 \times (9/12)^2 \approx 0{,}19$ m do chão e bateria na rede (alternativa A). Os 15° fazem a bola subir 2,4 m a mais até a rede: não dá para desprezar.

A ideia em uma frase: com a equação da trajetória você confere a altura em qualquer ponto (a rede) e acha o alcance — sem precisar calcular o tempo.

Resposta: alternativa C (passa a rede, a cerca de 2,40 m de altura, e cai a cerca de 13,3 m da sacadora).