ITA 2018 — questão 11 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre as massas, sabendo que, depois do choque elástico, as duas saem com velocidades de mesmo módulo.

Passo 1 — as velocidades antes. Mesma frequência angular ω, então $v = \omega r$. Chamando $v_2 = \omega r_2 = u$, vem $v_1 = \omega r_1 = 2u$.

Passo 2 — choque frontal. No instante do choque, as velocidades estão na mesma reta e em sentidos opostos (as massas vêm uma de encontro à outra). Durante o choque, rapidíssimo, as cordas não mudam a quantidade de movimento ao longo dessa reta. Tomando o sentido de $m_1$ como positivo:

$$\text{antes:}\quad v_1 = +2u, \qquad v_2 = -u$$

Passo 3 — choque elástico: a velocidade relativa se inverte. A velocidade de afastamento é igual à de aproximação, que é 2u + u = 3u. Se depois do choque as velocidades têm o mesmo módulo w, elas só podem ter sentidos opostos (com o mesmo sentido, a relativa seria zero). Então $m_1$ volta e $m_2$ vai:

$$v_1{}^{\prime} = -w, \quad v_2{}^{\prime} = +w, \quad 2w = 3u$$

$$w = 1{,}5\,u$$

Passo 4 — conservação da quantidade de movimento:

$$m_1 (2u) - m_2\,u =$$

$$= -m_1 (1{,}5u) + m_2 (1{,}5u)$$

$$3{,}5\,m_1 = 2{,}5\,m_2 \;\Rightarrow\; \frac{m_2}{m_1} = \frac{7}{5}$$

Conferindo pela energia: com $m_1 = 5$ e $m_2 = 7$ (e u = 1), antes: $\tfrac{1}{2}(5 \times 4 + 7 \times 1) = 13{,}5$; depois: $\tfrac{1}{2}(5 + 7)(1{,}5)^2 = 13{,}5$. A energia cinética se conserva, como deve num choque elástico.

⚠️ A armadilha: esquecer que as massas vêm em sentidos opostos e usar $v_2 = +u$. Aí a velocidade de aproximação seria só u, e a conservação do momento levaria a uma massa negativa: sinal de que o choque frontal exige velocidades opostas.

A ideia em uma frase: em choque elástico, conserve a quantidade de movimento e inverta a velocidade relativa — com o cuidado de pôr os sinais certos nas velocidades.

Resposta: alternativa E ($m_2/m_1 = 7/5$).