ITA 2018 — questão 20 de Física

Gabarito CGases — recipientes ligados a temperaturas diferentes: conservação do número de molsProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 20 de Física do ITA 2018 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Dois recipientes $A$ e $B$ de respectivos volumes $V_A$ e $V_B = \beta V_A$ , constantes, contêm um gás ideal e são conectados por um tubo fino com válvula que regula a passagem do gás, conforme a figura. Inicialmente o gás em $A$ está na temperatura $T_A$ sob pressão $P_A$ e em $B$ , na temperatura $T_B$ sob pressão $P_B$ . A válvula é então aberta até que as pressões finais $P_{Af}$ e $P_{Bf}$ alcancem a proporção $P_{Af}/P_{Bf} = \alpha$ , mantendo as temperaturas nos seus valores iniciais. Assinale a opção com a expressão de $P_{Af}$ .

[Figura: dois recipientes, $A$ (à esquerda) e $B$ (à direita), com gás (pontos), ligados por um tubo fino com uma válvula no meio.]

A) $\left[\left(\frac{P_B}{P_A}\frac{T_A}{T_B} + \beta\right) / \left(\beta + \frac{1}{\alpha}\frac{T_A}{T_B}\right)\right] P_A$

B) $\left[\left(1 + \beta\frac{P_B}{P_A}\frac{T_A}{T_B}\right) / \left(1 - \frac{\beta}{\alpha}\frac{T_A}{T_B}\right)\right] P_A$

C) $\left[\left(1 + \beta\frac{P_B}{P_A}\frac{T_A}{T_B}\right) / \left(1 + \frac{\beta}{\alpha}\frac{T_A}{T_B}\right)\right] P_A$

D) $\left[\left(1 + \beta\frac{P_B}{P_A}\frac{T_A}{T_B}\right) / \left(\alpha + \beta\frac{T_A}{T_B}\right)\right] P_A$

E) $\left[\left(\beta\frac{P_B}{P_A}\frac{T_A}{T_B} - 1\right) / \left(\alpha + \beta\frac{T_A}{T_B}\right)\right] P_A$

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2018, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a pressão final em A, depois que o gás se redistribui entre os recipientes (cada um mantido na sua temperatura).

Passo 1 — o que se conserva: o número de mols. O gás só passa de um recipiente para o outro; o total de mols não muda. Por Clapeyron, $n = PV/(RT)$ :

$\frac{P_A V_A}{T_A} + \frac{P_B\,\beta V_A}{T_B}$

$= \frac{P_{Af} V_A}{T_A} + \frac{P_{Bf}\,\beta V_A}{T_B}$

(o R se cancela em todos os termos).

Passo 2 — simplificar. Multiplique tudo por $T_A/V_A$ e use $P_{Bf} = P_{Af}/\alpha$ :

$P_A + \beta P_B \frac{T_A}{T_B} = P_{Af} + \frac{\beta}{\alpha}\,P_{Af}\,\frac{T_A}{T_B}$

$P_{Af}\left(1 + \frac{\beta}{\alpha}\frac{T_A}{T_B}\right)$

$= P_A\left(1 + \beta\frac{P_B}{P_A}\frac{T_A}{T_B}\right)$

Passo 3 — isolar:

$P_{Af} = \frac{1 + \beta\frac{P_B}{P_A}\frac{T_A}{T_B}}{1 + \frac{\beta}{\alpha}\frac{T_A}{T_B}}\; P_A$

Conferindo com um caso simples: volumes iguais (β = 1), mesma temperatura e equilíbrio de pressões (α = 1). A fórmula dá $P_{Af} = (P_A + P_B)/2$ , a média das pressões, como devia.

Por que não as outras (teste do caso-limite): se B for minúsculo (β → 0), quase nenhum gás muda de lugar e $P_{Af}$ tem de tender a $P_A$ . A dá $\alpha P_B$ , D dá $P_A/\alpha$ e E dá $-P_A/\alpha$ : falham. B passa nesse teste, mas tem um sinal de menos no denominador: com $\frac{\beta}{\alpha}\frac{T_A}{T_B} > 1$ daria pressão negativa, um absurdo.

⚠️ A armadilha: somar as pressões ("pressão total se conserva") ou esquecer as temperaturas. Com temperaturas diferentes, o que se conserva é $\sum PV/T$ , isto é, o número de mols.

A ideia em uma frase: em recipientes ligados, o gás muda de lugar mas não some: some os mols (PV/RT) antes e depois.

Resposta: alternativa C.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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