ITA 2018 — questão 19 de Física

Gabarito AOndas — energia de um pêndulo transferida a uma onda sonora num tuboProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 19 de Física do ITA 2018

Enunciado em texto

Um pêndulo simples de massa mm e haste rígida de comprimento hh é articulado em torno de um ponto e solto de uma posição vertical, conforme a Figura 1. Devido à gravidade, o pêndulo gira atingindo uma membrana ligada a um tubo aberto em uma das extremidades, de comprimento LL e área da seção transversal SS (Figura 2). Após a colisão de reduzida duração, Δt\Delta t, o pêndulo recua atingindo um ângulo máximo θ\theta (Figura 3). Sejam ρ\rho a densidade de equilíbrio do ar e cc a velocidade do som. Supondo que energia tenha sido transferida somente para a harmônica fundamental da onda sonora plana no tubo, assinale a opção com a amplitude da oscilação das partículas do ar.

[Figura 1: um tubo horizontal de comprimento LL, aberto na extremidade esquerda e fechado por uma membrana na direita. Acima da extremidade direita, o pêndulo de haste hh está na vertical, com a massa mm em cima da articulação; uma linha tracejada mostra o arco que a massa percorre, descendo pela direita até a membrana. Figura 2: o pêndulo pendurado na vertical, para baixo, com a massa tocando a membrana. Figura 3: o pêndulo recuado para a direita, com a haste formando o ângulo θ\theta com a vertical.]

A) 2Lπc2mgh(1+cos⁡θ)ρScΔt\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos\theta)}{\rho S c \Delta t}}

B) Lc2mgh(1+cos⁡θ)ρSL\frac{L}{c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos\theta)}{\rho S L}}

C) 2Lπc2mgh(1+cos⁡θ)ρSL\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos\theta)}{\rho S L}}

D) 2Lπc2mgh(1−cos⁡θ)ρScΔt\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 - \cos\theta)}{\rho S c \Delta t}}

E) Lπc2mgh(1−cos⁡θ)ρScΔt\frac{L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 - \cos\theta)}{\rho S c \Delta t}}

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2018, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a amplitude de oscilação das moléculas de ar na onda sonora criada pela batida do pêndulo na membrana.

Passo 1 — a energia entregue ao ar. O pêndulo começa parado com a massa no ponto mais alto, a uma altura 2h acima do ponto mais baixo, onde bate. Depois do choque, sobe até o ângulo θ, ou seja, a uma altura h(1−cos⁡θ)h(1 - \cos\theta) acima do ponto mais baixo. O que faltou foi para o ar:

E=2mgh−mgh(1−cos⁡θ)E = 2mgh - mgh(1 - \cos\theta)

E=mgh (1+cos⁡θ)E = mgh\,(1 + \cos\theta)

Passo 2 — a frequência da fundamental. O tubo é aberto numa ponta e fechado pela membrana na outra: na fundamental cabe um quarto de onda no tubo:

λ=4L,ω=2πc4L=πc2L\lambda = 4L, \qquad \omega = 2\pi\frac{c}{4L} = \frac{\pi c}{2L}

Passo 3 — a intensidade de uma onda sonora plana. Cada camada de ar oscila como um oscilador de amplitude A; a densidade de energia é 12ρω2A2\tfrac{1}{2}\rho\omega^2 A^2, e ela viaja com velocidade c. A intensidade (potência por área) é:

I=12 ρ c ω2A2I = \tfrac{1}{2}\,\rho\,c\,\omega^2 A^2

Passo 4 — a potência da membrana. O choque dura Δt: nesse tempo a membrana entrega a energia E através da área S. A potência é E/Δt=I SE/\Delta t = I\,S:

mgh(1+cos⁡θ)Δt=12ρcω2A2S\frac{mgh(1 + \cos\theta)}{\Delta t} = \tfrac{1}{2}\rho c \omega^2 A^2 S

A=1ω2mgh(1+cos⁡θ)ρScΔtA = \frac{1}{\omega}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos\theta)}{\rho S c \Delta t}}

A=2Lπc2mgh(1+cos⁡θ)ρScΔtA = \frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos\theta)}{\rho S c \Delta t}}

Conferindo pelas unidades: dentro da raiz, J/(kg/m³ · m² · m/s · s) = (kg·m²/s²)/kg = m²/s², e a raiz dá m/s. Fora, L/c tem unidade de tempo. Produto: metro. É uma amplitude.

Por que não as outras: D e E usam 1−cos⁡θ1 - \cos\theta, que é a energia que ficou no pêndulo, não a que foi para o ar; E ainda usa ω = πc/L, que seria a fundamental de um tubo aberto nas duas pontas. B e C ignoram a duração do choque e espalham a energia pelo volume do tubo (SL); a questão dá Δt justamente porque o modelo é o da membrana funcionando como fonte durante o choque.

⚠️ A armadilha: a D. A conta é a mesma, mas com a energia errada: "recuar até θ" é a energia que sobrou no pêndulo; o ar recebeu a diferença entre os 2mgh iniciais e o que sobrou.

A ideia em uma frase: energia perdida pelo pêndulo = potência da onda × duração do choque, com a intensidade ½ρcω²A² e ω da fundamental de um tubo fechado numa ponta.

Resposta: alternativa A (2Lπc2mgh(1+cos⁡θ)ρScΔt\frac{2L}{\pi c}\sqrt{\frac{2mgh(1 + \cos\theta)}{\rho S c \Delta t}}).

Vídeo em breve

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