ITA 2018 — questão 10 de Física

Gabarito DDinâmica — conservação da quantidade de movimento e da energia: corpo deslizando num tubo livreProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 10 de Física do ITA 2018 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: … Aceleração da gravidade $g = 10\ \text{m/s}^2$ . …

Um tubo fino de massa 1225 g e raio $r = 10{,}0$ cm encontra-se inicialmente em repouso sobre um plano horizontal sem atrito. A partir do ponto mais alto, um corpo de massa 71,0 g com velocidade inicial zero desliza sem atrito pelo interior do tubo no sentido anti-horário, conforme a figura. Então, quando na posição mais baixa, o corpo terá uma velocidade relativa ao tubo, em cm/s, igual a

[Figura: um tubo em forma de anel, de raio $r$ , em pé sobre o plano horizontal; o eixo $x$ aponta para a direita ao longo do plano. Uma seta curva do lado esquerdo indica o movimento do corpo, que desce pela esquerda (sentido anti-horário); o corpo aparece na parte inferior esquerda do anel.]

A) -11,3.

B) -206.

C) 11,3.

D) 206.

E) 194.

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2018, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade do corpo em relação ao tubo quando ele passa pelo ponto mais baixo, com sinal (eixo x para a direita).

Passo 1 — o que se conserva. Não há atrito, nem entre corpo e tubo, nem com o chão:

• na horizontal, nenhuma força externa: a quantidade de movimento horizontal do conjunto se conserva (começa em zero);

• a energia mecânica se conserva (as forças normais entre corpo e tubo não dissipam nada).

Sejam $m = 71$ g, $M = 1225$ g, $v$ a velocidade do corpo e $V$ a do tubo, ambas em relação ao chão, no ponto mais baixo. Lá as duas velocidades são horizontais.

$m v + M V = 0 \;\Rightarrow\; V = -\frac{m}{M}\,v$

Passo 2 — a energia. O corpo desce $2r = 0{,}2$ m:

$m g (2r) = \frac{m v^2}{2} + \frac{M V^2}{2}$

$4 g r = v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right)$

Passo 3 — os números são "redondos". $gr = 10 \times 0{,}1 = 1$ m²/s², e $1 + \frac{71}{1225} = \frac{1296}{1225} = \left(\frac{36}{35}\right)^2$ :

$v = \frac{2\sqrt{g r}}{36/35} = \frac{70}{36} \approx 1{,}944\ \text{m/s}$

$V = -\frac{71}{1225} \times 1{,}944 \approx -0{,}113\ \text{m/s}$

Passo 4 — a velocidade relativa. No sentido anti-horário, o corpo passa pelo ponto mais baixo indo para a direita (+x), e o tubo recua para a esquerda:

$v_{\text{rel}} = v - V = v\left(1 + \frac{m}{M}\right)$

$v_{\text{rel}} = \frac{70}{36} \times \frac{1296}{1225} = \frac{72}{35}\ \text{m/s}$

$v_{\text{rel}} \approx 2{,}06\ \text{m/s} = 206\ \text{cm/s}$

Conferindo: se o tubo fosse preso, a velocidade relativa seria $\sqrt{4gr} = 200$ cm/s. Com o tubo livre ela fica um pouco maior (206 cm/s), porque o tubo recua e as duas velocidades se somam na relativa.

⚠️ A armadilha: cada alternativa errada é um pedaço certo da conta respondendo a pergunta errada: 194 cm/s (E) é a velocidade do corpo em relação ao chão; −11,3 cm/s (A) é a velocidade do tubo; e −206 (B) é a resposta com o sinal trocado, como se o corpo passasse por baixo indo para a esquerda.

A ideia em uma frase: sem atrito com o chão, quantidade de movimento horizontal e energia se conservam juntas — e a velocidade relativa é a diferença entre as velocidades do corpo e do tubo.

Resposta: alternativa D (206 cm/s).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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