ITA 2018 — questão 13 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o período de rotação do quadrado, que gira mantendo a forma porque a gravidade das outras três massas segura cada uma em órbita.

Passo 1 — a força sobre um corpo. Por simetria, a resultante aponta para o centro do quadrado. As três contribuições:

• os dois vizinhos, a distância L: cada um puxa com $Gm^2/L^2$ ao longo de um lado, que faz 45° com a direção do centro;

• o oposto, na diagonal, a distância $L\sqrt{2}$: puxa com $Gm^2/(2L^2)$, direto para o centro.

$$F = 2\,\frac{Gm^2}{L^2}\cos 45^{\circ} + \frac{Gm^2}{2L^2}$$

$$F = \frac{Gm^2}{L^2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$$

Passo 2 — essa força é a centrípeta. O raio da órbita é a metade da diagonal, $R = L/\sqrt{2}$:

$$F = m\,\omega^2\,\frac{L}{\sqrt{2}}$$

$$\omega^2 = \frac{Gm}{L^3}\,\sqrt{2}\left(\sqrt{2} + \frac{1}{2}\right)$$

$$\omega^2 = \frac{Gm}{L^3}\cdot\frac{4 + \sqrt{2}}{2}$$

Passo 3 — o período e a racionalização:

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{Gm}\cdot\frac{2}{4 + \sqrt{2}}}$$

$$\frac{2}{4 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 - \sqrt{2})}{16 - 2} = \frac{4 - \sqrt{2}}{7}$$

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{Gm}\cdot\frac{4 - \sqrt{2}}{7}}$$

Conferindo: $(4 - \sqrt{2})/7 \approx 0{,}37$. Para comparar, dois corpos de massa m a distância L (girando em torno do centro) teriam $\omega^2 = 2Gm/L^3$, ou fator 0,5. Com mais massa puxando, a rotação fica mais rápida e o fator menor. Coerente.

⚠️ A armadilha: errar a racionalização. O produto $(4 + \sqrt{2})(4 - \sqrt{2})$ é $16 - 2 = 14$; quem divide por 4 em vez de 14 chega ao fator $(4 - \sqrt{2})/2$ da alternativa A. C e E nem têm o 2π, e ainda trazem $4 + \sqrt{2}$ no numerador da fração, o contrário do que sai da conta.

A ideia em uma frase: em cada corpo, a resultante gravitacional das outras três massas é a força centrípeta — some vetorialmente com cuidado e use o raio certo (metade da diagonal).

Resposta: alternativa D ($T = 2\pi\sqrt{\frac{L^3}{Gm}\cdot\frac{4 - \sqrt{2}}{7}}$).