ITA 2018 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade com que o bloco segue depois que a massa da haste se separa dele.

Passo 1 — o vínculo entre as velocidades. Enquanto há contato, a massa $m$ empurra a face esquerda do bloco: o bloco anda com a mesma velocidade horizontal da massa. A massa gira em torno de T, então sua velocidade $v$ é perpendicular à haste. Com a haste a um ângulo φ da horizontal, a componente horizontal dessa velocidade é $v\,\text{sen}\,\varphi$:

$$V_{\text{bloco}} = v\,\text{sen}\,\varphi$$

No instante da separação, $\varphi = \pi/6 = 30^{\circ}$, e $\text{sen}\,30^{\circ} = 1/2$:

$$V = \frac{v}{2} \;\Rightarrow\; v = 2V$$

Passo 2 — a conservação da energia. Sem atritos, e com a força de contato fazendo trabalho de um lado e "desfazendo" do outro, a energia mecânica do conjunto se conserva. A massa $m$ desce de L até $L\,\text{sen}\,30^{\circ} = L/2$, ou seja, cai L/2:

$$m g \frac{L}{2} = \frac{m v^2}{2} + \frac{M V^2}{2}$$

$$m g L = m (2V)^2 + M V^2$$

$$V^2 = \frac{mgL}{M + 4m}$$

Passo 3 — depois da separação. O bloco não recebe mais força horizontal (chão sem atrito): segue com essa velocidade para sempre. Ela é a velocidade final:

$$V = \sqrt{\frac{mgL}{M + 4m}}$$

Conferindo (para quem quer ir além): a separação acontece quando o bloco para de ser acelerado, isto é, quando V é máxima. Escrevendo V² em função de s = sen φ e impondo o máximo em s = 1/2, sai a condição $M = 4m$. Ou seja, o ângulo de 30° dado no enunciado corresponde a um bloco quatro vezes mais pesado que a massa — e, com isso, $V = \sqrt{gL/8}$. Mesmo usando M = 4m, só a alternativa B dá esse valor.

⚠️ A armadilha: dar ao bloco a mesma velocidade da massa (V = v). Aí a energia fica $mgL/2 = (m + M)V^2/2$, que dá $\sqrt{mgL/(M+m)}$, valor que nem aparece. O vínculo é só na direção horizontal: a massa também desce, e o bloco não acompanha esse movimento vertical. Quem esquece a energia cinética da própria massa m cai em A, com $\sqrt{mgL/M}$.

A ideia em uma frase: energia conservada + vínculo de velocidades (o bloco acompanha só a componente horizontal da velocidade da massa) resolvem o problema sem calcular nenhuma força.

Resposta: alternativa B ($\sqrt{mgL/(M + 4m)}$).