ITA 2018 — questão 1 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a ordem de grandeza da frequência de vibração da estrela, sabendo só de quais grandezas ela depende.

Passo 1 — montar o monômio. "Expressão monomial" quer dizer um produto de potências, com constante igual a 1:

$$\nu = G^{a}\, m^{b}\, R^{c}$$

Passo 2 — casar as unidades. A frequência tem unidade s⁻¹. A constante G tem unidade m³·kg⁻¹·s⁻², a massa, kg, e o raio, m:

$$\text{s}^{-1} = (\text{m}^3\,\text{kg}^{-1}\,\text{s}^{-2})^{a}\,\text{kg}^{b}\,\text{m}^{c}$$

• segundo: −2a = −1, logo a = 1/2;

• quilograma: −a + b = 0, logo b = 1/2;

• metro: 3a + c = 0, logo c = −3/2.

$$\nu = \sqrt{\frac{G\,m}{R^3}}$$

Passo 3 — trocar m/R³ pela densidade. A estrela é uma esfera: $m = \rho \cdot \tfrac{4}{3}\pi R^3$. O raio some, e sobra só a densidade:

$$\nu = \sqrt{\tfrac{4\pi}{3}\,G\,\rho}$$

Passo 4 — a conta, no SI. Como 1 g/cm³ = 1000 kg/m³, a densidade é $\rho = 5 \times 10^{17}$ kg/m³:

$$G\rho = 7 \times 10^{-11} \times 5 \times 10^{17}$$

$$G\rho = 3{,}5 \times 10^{7}\ \text{s}^{-2}$$

$$\nu \approx \sqrt{4{,}2 \times 3{,}5 \times 10^{7}}$$

$$\nu \approx \sqrt{1{,}5 \times 10^{8}} \approx 1{,}2 \times 10^{4}\ \text{Hz}$$

Conferindo: mesmo que você descarte o fator 4π/3 (afinal, a constante é só "aproximadamente 1"), $\sqrt{3{,}5 \times 10^7} \approx 6 \times 10^3$ Hz, que continua na ordem de $10^4$ Hz. A resposta não depende desse detalhe.

⚠️ A armadilha: esquecer de converter a densidade de g/cm³ para kg/m³ (fator 1000). Com $\rho = 5 \times 10^{14}$ você acharia cerca de $2 \times 10^2$ Hz e marcaria a D. Como G está no SI, todo o resto tem de estar no SI.

A ideia em uma frase: com análise dimensional, a frequência de um corpo que vibra pela própria gravidade sai como a raiz de Gρ — e é isso que faz uma estrela de nêutrons vibrar milhares de vezes por segundo.

Resposta: alternativa E ($10^{4}$ Hz).