ITA 2018 — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a força total (com sinal, no eixo x) que as duas cargas do sistema 1 fazem nas duas cargas do sistema 2.

Passo 1 — as quatro distâncias. Pela figura, r é a distância de $+q_1$ a $-q_2$. As outras saem somando $a_1$ e $a_2$:

• $+q_1 \to -q_2$: $r$; • $-q_1 \to -q_2$: $r + a_1$;

• $+q_1 \to +q_2$: $r + a_2$; • $-q_1 \to +q_2$: $r + a_1 + a_2$.

Passo 2 — as quatro forças (k = 1/4πε₀, positivo para a direita). Cargas de mesmo sinal se repelem (empurram o sistema 2 para a direita, +); de sinais opostos se atraem (puxam para a esquerda, −):

$$\frac{F\,r^2}{k q_1 q_2} = -1 + \frac{1}{(1+z_1)^2}$$

$$+ \frac{1}{(1+z_2)^2} - \frac{1}{(1+z_1+z_2)^2}$$

com $z_1 = a_1/r$ e $z_2 = a_2/r$, ambos muito pequenos.

Passo 3 — a aproximação dada. Usando $(1+z)^{-2} \simeq 1 - 2z + 3z^2$ em cada termo:

$$-1 + (1 - 2z_1 + 3z_1^2)$$

$$+\,(1 - 2z_2 + 3z_2^2)$$

$$\;-\,[\,1 - 2(z_1 + z_2) + 3(z_1+z_2)^2\,]$$

Os termos constantes somam zero; os de primeira ordem também ($-2z_1 - 2z_2 + 2z_1 + 2z_2 = 0$). Sobra só a segunda ordem:

$$3z_1^2 + 3z_2^2 - 3(z_1+z_2)^2 = -6\,z_1 z_2$$

Passo 4 — a força:

$$F = \frac{k q_1 q_2}{r^2}\,(-6)\,\frac{a_1 a_2}{r^2}$$

$$F = -\frac{6}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{q_1 q_2\, a_1 a_2}{r^4}$$

Conferindo: o sinal negativo quer dizer força para a esquerda, isto é, o sistema 2 é atraído pelo sistema 1. Faz sentido: as cargas mais próximas, $+q_1$ e $-q_2$, são opostas. E a força cai com $1/r^4$, muito mais depressa que a de duas cargas isoladas ($1/r^2$): de longe, cada dipolo quase parece neutro.

⚠️ A armadilha: parar na primeira ordem ($1 - 2z$). Tudo se cancela e a força dá zero, o que não está nas alternativas. É por isso que a questão dá o termo $3z^2$: a resposta mora inteira na segunda ordem. Outra armadilha é levar só o par mais próximo em conta (força $\sim 1/r^2$, como em A e B): para dipolos distantes, os efeitos das quatro cargas quase se cancelam.

A ideia em uma frase: dois dipolos alinhados e distantes se atraem com força proporcional a 1/r⁴ — os termos de ordem zero e um se cancelam, e só a segunda ordem sobrevive.

Resposta: alternativa D ($-\frac{6}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1 q_2 a_1 a_2}{r^4}$).