ITA 2010 — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o menor coeficiente de atrito entre o semicilindro e o chão para que nada escorregue. (Nas alternativas, “$2h/LQ\,\text{sen}(2\alpha)$” quer dizer $2h/(LQ\,\text{sen}\,2\alpha)$, e “$R/LQ\cos\alpha$” quer dizer $R/(LQ\cos\alpha)$.)

Passo 1 — forças na barra. Peso $Q$ no meio, reação da articulação em O e a normal $N$ do semicilindro. Como a superfície é lisa, $N$ é perpendicular à barra, isto é, ao longo do raio que vai do centro do semicilindro ao ponto de contato. Momentos em relação a O (assim a reação da articulação some): o braço do peso é $\frac{L}{2}\,\text{sen}\,\alpha$ e o de $N$ é a distância $s$ de O ao ponto de contato, medida ao longo da barra:

$$N\,s = Q\,\frac{L}{2}\,\text{sen}\,\alpha$$

Passo 2 — a geometria de $s$. Seja D o pé da vertical que desce de O (no chão) e $d$ a distância de D ao centro C do semicilindro. Projetando o caminho O → D → C na direção da barra e na direção perpendicular a ela (onde a distância de C à barra é o raio R):

$$s = h\cos\alpha + d\,\text{sen}\,\alpha$$

$$R = h\,\text{sen}\,\alpha - d\cos\alpha$$

Multiplicando a 1ª por $\cos\alpha$, a 2ª por $\text{sen}\,\alpha$ e somando, $d$ some:

$$s\cos\alpha + R\,\text{sen}\,\alpha = h$$

$$s = \frac{h - R\,\text{sen}\,\alpha}{\cos\alpha}$$

$$N = \frac{QL\,\text{sen}\,\alpha\cos\alpha}{2\,(h - R\,\text{sen}\,\alpha)}$$

Passo 3 — forças no semicilindro. A barra o empurra com $N$, perpendicular à barra. Como a barra faz $\alpha$ com a vertical, $N$ faz $\alpha$ com a horizontal: componente horizontal $N\cos\alpha$ (que o atrito tem de segurar) e vertical $N\,\text{sen}\,\alpha$ (que se soma ao peso P na normal do chão):

$$f_{at} = N\cos\alpha$$

$$N_{\text{chão}} = P + N\,\text{sen}\,\alpha$$

Passo 4 — o atrito mínimo. Equilíbrio exige $f_{at} \le \mu\,N_{\text{chão}}$:

$$\mu_{\text{mín}} = \frac{N\cos\alpha}{P + N\,\text{sen}\,\alpha}$$

$$\mu_{\text{mín}} = \frac{\cos\alpha}{\text{sen}\,\alpha + P/N}$$

Falta escrever $P/N$ no formato das alternativas, usando $\text{sen}\,\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\text{sen}\,2\alpha$:

$$\frac{P}{N} = \frac{4P\,(h - R\,\text{sen}\,\alpha)}{LQ\,\text{sen}\,2\alpha}$$

$$\frac{P}{N} = 2P\left(\frac{2h}{LQ\,\text{sen}\,2\alpha} - \frac{R}{LQ\cos\alpha}\right)$$

Substituindo, chega-se exatamente à (C).

Conferindo: se o semicilindro não tivesse peso ($P \to 0$), sobraria $\mu = \cos\alpha/\text{sen}\,\alpha$, que é a razão entre as componentes horizontal e vertical da própria força $N$. E se o semicilindro estivesse bem embaixo de O ($d = 0$), $s$ deveria ser $h\cos\alpha$: de fato, com $d = 0$, $R = h\,\text{sen}\,\alpha$ e a fórmula dá $s = h(1 - \text{sen}^2\alpha)/\cos\alpha = h\cos\alpha$.

⚠️ A armadilha: decompor $N$ como se ela fizesse $\alpha$ com a vertical (como a barra). A normal é perpendicular à barra, então faz $\alpha$ com a horizontal: o atrito equilibra $N\cos\alpha$ e o chão recebe $N\,\text{sen}\,\alpha$ a mais. Trocar seno por cosseno aí leva às formas das outras alternativas.

A ideia em uma frase: momentos em O dão a normal na barra; a componente horizontal dessa normal empurra o semicilindro, e o atrito mínimo é ela dividida pela normal do chão.

Resposta: alternativa C.