ITA 2010 — questão 1 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: duas coisas: a fórmula de $A$, tirada só das unidades, e o tamanho da correção de Einstein comparado com o termo de Newton na órbita da Terra.

Passo 1 — a unidade do potencial. Com $G$ em m³/(s²·kg), $M$ em kg e $r$ em m, o quilograma cancela e sobra velocidade ao quadrado:

$$\left[\frac{GM}{r}\right] = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}$$

Passo 2 — a unidade de $A$. Só se somam grandezas de mesma unidade, então $A/r^2$ também é m²/s². Logo:

$$[A] = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\cdot\text{m}^2 = \frac{\text{m}^4}{\text{s}^2}$$

Passo 3 — montar $A$ com $G$, $M$ e $c$. O único jeito de cancelar o kg de $G$ é usar o produto $GM$ (unidade m³/s²). Então $A = k\,(GM)^a\,c^p$:

$$\frac{\text{m}^{3a+p}}{\text{s}^{2a+p}} = \frac{\text{m}^4}{\text{s}^2}$$

$$3a + p = 4 \quad\text{e}\quad 2a + p = 2$$

$$a = 2,\quad p = -2 \;\Rightarrow\; A = k\,\frac{G^2M^2}{c^2}$$

Passo 4 — a razão entre os termos. Com $k = 1$:

$$\frac{A/r^2}{GM/r} = \frac{A}{GM\,r} = \frac{GM}{c^2\,r}$$

Na posição da Terra, $r = 1{,}5 \times 10^{11}$ m:

$$GM \approx 1{,}33 \times 10^{20}\ \text{m}^3/\text{s}^2$$

$$c^2 r = 9 \times 10^{16} \times 1{,}5 \times 10^{11}$$

$$c^2 r = 1{,}35 \times 10^{28}\ \text{m}^3/\text{s}^2$$

$$\frac{GM}{c^2 r} \approx 9{,}8 \times 10^{-9} \sim 10^{-8}$$

Conferindo por outro caminho: $GM/r$ é o quadrado da velocidade orbital da Terra, $v \approx 3 \times 10^4$ m/s. Então a razão é $(v/c)^2 = (10^{-4})^2 = 10^{-8}$. A correção relativística é minúscula no Sistema Solar, como se espera.

Por que não as outras: em (A), (B) e (C) aparece $c$ em vez de $c^2$, e as unidades não fecham (por exemplo, $G^2M^2/c$ dá m⁵/s³, não m⁴/s²). A (D) tem a fórmula certa, mas a ordem de grandeza errada.

⚠️ A armadilha: parar na fórmula e chutar a ordem de grandeza. A (D) e a (E) têm a mesma expressão; só a conta com os dados da prova (ou o atalho $(v/c)^2$) separa $10^{-5}$ de $10^{-8}$.

A ideia em uma frase: a análise dimensional exige $A = G^2M^2/c^2$, e a correção de Einstein relativa a Newton vale $(v/c)^2$, cerca de $10^{-8}$ na órbita da Terra.

Resposta: alternativa E ($A = kG^2M^2/c^2$ e $10^{-8}$).