ITA 2010 — questão 15 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a carga $q$ que, atraindo $Q$, equilibra a balança com a massa $m$ do outro lado.

Passo 1 — a geometria (o ponto-chave). $Q$ não tem massa: as únicas forças nela são a tração do fio e a força elétrica de $q$. Para que se anulem, a força elétrica tem de estar ao longo do fio, puxando para longe do braço. Por isso $q$ atrai $Q$ (sinal oposto) e está no prolongamento do fio, como mostra a figura. Então a reta $Qq$ faz 30° com a vertical, e $d$ é só a separação vertical. A distância entre as cargas é

$$r = \frac{d}{\cos 30^{\circ}} = \frac{2d}{\sqrt{3}}$$

Passo 2 — a tração no fio. É igual à força elétrica:

$$T = \frac{k_0Q|q|}{r^2} = \frac{3k_0Q|q|}{4d^2}$$

Passo 3 — momentos em relação ao cutelo. O fio puxa a ponta esquerda. A componente horizontal da tração está ao longo do braço e não faz momento; só a vertical, $T\cos 30^{\circ}$, com braço $\ell_1$. Do outro lado, o peso $mg$ com braço $\ell_2$:

$$T\cos 30^{\circ}\,\ell_1 = mg\,\ell_2$$

$$\frac{3k_0Q|q|}{4d^2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\,\ell_1 = mg\,\ell_2$$

$$|q| = \frac{8\,mg\,\ell_2\,d^2}{3\sqrt{3}\,k_0Q\,\ell_1}$$

O sinal de menos das alternativas indica que $q$ tem sinal oposto ao de $Q$ (atração). Isso é a (E).

⚠️ A armadilha: usar $d$ como distância entre as cargas. Com $r = d$ e a projeção $\cos 30^{\circ}$, sai $2mg\ell_2d^2/(\sqrt{3}k_0Q\ell_1)$, a (D); sem a projeção, sai a (A). E quem acerta a distância mas esquece de projetar a tração cai na (C).

A ideia em uma frase: carga sem massa presa a um fio só fica em equilíbrio se a força elétrica estiver ao longo do fio; daí sai a distância real entre as cargas, e o resto é momento no cutelo.

Resposta: alternativa E ($-8mg\ell_2d^2/(3\sqrt{3}k_0Q\ell_1)$).