ITA 2010 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a temperatura em que a velocidade típica de uma molécula de N₂ (a que corresponde à energia cinética média) fica igual à velocidade de escape da Terra.

Passo 1 — a velocidade de escape. Para escapar, a energia cinética tem de vencer a energia potencial gravitacional: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GM_Tm}{R_T}$. Como $g = GM_T/R_T^2$, isso vira $v^2 = 2gR_T$:

$$v_{\text{esc}}^2 = 2 \times 9{,}8 \times 6{,}38 \times 10^{6}$$

$$v_{\text{esc}}^2 \approx 1{,}25 \times 10^{8}\ \text{m}^2/\text{s}^2$$

(isto é, cerca de 11,2 km/s).

Passo 2 — a energia cinética média. Pela teoria cinética, a energia cinética média de translação de uma molécula é $\frac{3}{2}kT$. Para um mol (multiplicando por $N_A$, com $kN_A = R$ e $mN_A = M$, a massa molar):

$$\frac{1}{2}M v^2 = \frac{3}{2}R\,T \;\Rightarrow\; T = \frac{M v^2}{3R}$$

Passo 3 — a conta. O N₂ tem massa molar $2 \times 14 = 28$ g/mol $= 0{,}028$ kg/mol:

$$T = \frac{0{,}028 \times 1{,}25 \times 10^{8}}{3 \times 8{,}31}$$

$$T \approx 1{,}4 \times 10^{5}\ \text{K}$$

Conferindo por molécula: $k = R/N_A \approx 1{,}38 \times 10^{-23}$ J/K e $m = 0{,}028/(6{,}023 \times 10^{23}) \approx 4{,}65 \times 10^{-26}$ kg. Então $T = mv^2/(3k) \approx 1{,}4 \times 10^{5}$ K, o mesmo valor.

⚠️ A armadilha: usar a massa molar em gramas (28 em vez de 0,028 kg/mol): a conta dá $1{,}4 \times 10^{8}$ K, a alternativa B. Outro tropeço é usar 14 (o átomo N) em vez de 28 (a molécula N₂): sai cerca de $7 \times 10^{4}$ K, perto da D.

A ideia em uma frase: iguale $\frac{3}{2}RT$ a $\frac{1}{2}Mv_{\text{esc}}^2$, com $v_{\text{esc}}^2 = 2gR_T$ e a massa molar em kg/mol.

Resposta: alternativa A ($1{,}4 \times 10^{5}$ K).