ITA 2010 — questão 2 de Física

Gabarito DDinâmica — peso aparente na Terra em rotação, em função da latitudeProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 2 de Física do ITA 2010

Enunciado em texto

Considere a Terra como uma esfera homogênea de raio RR que gira com velocidade angular uniforme ω\omega em torno do seu próprio eixo Norte-Sul. Na hipótese de ausência de rotação da Terra, sabe-se que a aceleração da gravidade seria dada por g=GM/R2g = GM/R^2. Como ω≠0\omega \neq 0, um corpo em repouso na superfície da Terra na realidade fica sujeito forçosamente a um peso aparente, que pode ser medido, por exemplo, por um dinamômetro, cuja direção pode não passar pelo centro do planeta. Então, o peso aparente de um corpo de massa mm em repouso na superfície da Terra a uma latitude λ\lambda é dado por

[Figura: circunferência (a Terra) com o eixo vertical N–S e uma seta curva ω\omega em volta do eixo, perto do polo N; uma reta horizontal marcada “Equador”; um raio RR desenhado; um ponto mm na superfície, no hemisfério norte, ligado ao centro por um segmento tracejado que forma o ângulo λ\lambda com o Equador.]

A) mg−mω2Rcos⁡λmg - m\omega^2R\cos\lambda.

B) mg−mω2R sen2λmg - m\omega^2R\,\text{sen}^2\lambda.

C) mg1−[2ω2R/g+(ω2R/g)2]sen2λmg\sqrt{1 - \left[2\omega^2R/g + (\omega^2R/g)^2\right]\text{sen}^2\lambda}.

D) mg1−[2ω2R/g−(ω2R/g)2]cos⁡2λmg\sqrt{1 - \left[2\omega^2R/g - (\omega^2R/g)^2\right]\cos^2\lambda}.

E) mg1−[2ω2R/g−(ω2R/g)2]sen2λmg\sqrt{1 - \left[2\omega^2R/g - (\omega^2R/g)^2\right]\text{sen}^2\lambda}.

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2010, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: o valor que o dinamômetro marca para um corpo parado na superfície, na latitude λ\lambda.

Passo 1 — o corpo “parado” faz um círculo. Visto de fora da Terra, ele gira junto com ela num círculo de raio r=Rcos⁡λr = R\cos\lambda (a distância até o eixo), com aceleração centrípeta horizontal, apontando para o eixo:

a=ω2Rcos⁡λa = \omega^2 R\cos\lambda

Passo 2 — o que o dinamômetro mede. Sobre o corpo agem a atração mg⃗m\vec g (para o centro da Terra) e a força F⃗\vec F do dinamômetro. Pela 2ª lei, mg⃗+F⃗=ma⃗m\vec g + \vec F = m\vec a. O peso aparente é a força que o corpo faz no dinamômetro, −F⃗-\vec F:

P⃗ap=m (g⃗−a⃗)\vec P_{ap} = m\,(\vec g - \vec a)

Passo 3 — o ângulo entre g⃗\vec g e a⃗\vec a. g⃗\vec g aponta para o centro; a⃗\vec a aponta para o eixo, paralela ao Equador. O ângulo entre elas é a latitude λ\lambda. Pela lei dos cossenos:

Pap2=m2(g2+a2−2gacos⁡λ)P_{ap}^2 = m^2\left(g^2 + a^2 - 2ga\cos\lambda\right)

Com a=ω2Rcos⁡λa = \omega^2R\cos\lambda, os dois termos novos têm cos⁡2λ\cos^2\lambda:

a2=ω4R2cos⁡2λa^2 = \omega^4R^2\cos^2\lambda

2gacos⁡λ=2g ω2Rcos⁡2λ2ga\cos\lambda = 2g\,\omega^2R\cos^2\lambda

Passo 4 — pôr g2g^2 em evidência. Chamando u=ω2R/gu = \omega^2R/g:

Pap=mg1−(2u−u2)cos⁡2λP_{ap} = mg\sqrt{1 - (2u - u^2)\cos^2\lambda}

Que é exatamente a (D).

Conferindo nos casos-limite: no polo (λ=90∘\lambda = 90^{\circ}), cos⁡λ=0\cos\lambda = 0 e Pap=mgP_{ap} = mg: o corpo está no eixo e não gira. No Equador (λ=0\lambda = 0), a raiz vira (1−u)2\sqrt{(1 - u)^2} e Pap=mg−mω2RP_{ap} = mg - m\omega^2R, o resultado clássico (a centrípeta inteira “desconta” do peso).

Por que não as outras: a (A) acerta só no Equador e no polo; no meio ela trata a⃗\vec a como se fosse paralela a g⃗\vec g (e nem a projeção radial seria cos⁡λ\cos\lambda, seria cos⁡2λ\cos^2\lambda). A (B), a (C) e a (E) usam sen2λ\text{sen}^2\lambda: dariam a redução máxima no polo, onde não há rotação nenhuma, e nenhuma redução no Equador. A (C) ainda tem o sinal trocado dentro do colchete.

⚠️ A armadilha: confundir latitude com o ângulo medido a partir do eixo e trocar cosseno por seno, caindo na (E). O raio do círculo descrito é Rcos⁡λR\cos\lambda: máximo no Equador, zero no polo.

A ideia em uma frase: o peso aparente é m(g⃗−a⃗cp)m(\vec g - \vec a_{cp}); como a centrípeta aponta para o eixo e vale ω2Rcos⁡λ\omega^2R\cos\lambda, a lei dos cossenos dá o efeito em cos⁡2λ\cos^2\lambda.

Resposta: alternativa D.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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