ITA 2010 — questão 5 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a maior distensão da mola durante todo o movimento (antes e depois de o corpo se soltar do anteparo).

Passo 1 — enquanto há contato. O corpo desce junto com o anteparo, com aceleração $a$. Chamando de $x$ a distensão da mola e de $N$ a força do anteparo, ao longo do plano (positivo para baixo):

$$mg\,\text{sen}\,\alpha - kx - N = ma$$

Conforme $x$ cresce, $N$ diminui. O corpo se solta quando $N = 0$:

$$x_1 = \frac{m\,(g\,\text{sen}\,\alpha - a)}{k}$$

(Isso exige $a < g\,\text{sen}\,\alpha$; é o caso descrito, já que o contato dura um tempo.)

Passo 2 — a velocidade na separação. Até ali foi MUV a partir do repouso, por uma distância $x_1$:

$$v_1^2 = 2a\,x_1$$

Passo 3 — depois: MHS. Solto, o corpo fica só com o peso e a mola: oscila com $\omega^2 = k/m$ em torno do equilíbrio

$$x_0 = \frac{mg\,\text{sen}\,\alpha}{k}$$

No instante da separação, ele está a $x_0 - x_1 = ma/k$ acima do equilíbrio, com velocidade $v_1$. A amplitude sai de $A^2 = (x_0 - x_1)^2 + v_1^2/\omega^2$:

$$A^2 = \left(\frac{ma}{k}\right)^2 + \frac{2a\,x_1\,m}{k}$$

$$A^2 = \frac{m^2}{k^2}\left[a^2 + 2a\,(g\,\text{sen}\,\alpha - a)\right]$$

$$A = \frac{m}{k}\sqrt{a\,(2g\,\text{sen}\,\alpha - a)}$$

Passo 4 — a distensão máxima é o equilíbrio mais a amplitude:

$$x_{\text{máx}} = \frac{m}{k}\,(g\,\text{sen}\,\alpha + S)$$

$$S = \sqrt{a\,(2g\,\text{sen}\,\alpha - a)}$$

Conferindo nos casos-limite: se $a \to 0$ (o anteparo desce “devagarinho”), o corpo chega ao equilíbrio sem velocidade e $x_{\text{máx}} = mg\,\text{sen}\,\alpha/k$. Se $a = g\,\text{sen}\,\alpha$, o corpo se solta logo no início, do repouso com a mola relaxada, e oscila de 0 a $2mg\,\text{sen}\,\alpha/k$: a fórmula dá exatamente isso.

Por que não as outras: (D) é a distensão no instante da separação, não a máxima; (E) é a posição de equilíbrio; (A) tem o sinal trocado dentro da raiz; (B) usa cos α, mas a componente do peso ao longo do plano é $mg\,\text{sen}\,\alpha$.

⚠️ A armadilha: parar no ponto de separação e marcar a (D). Ali o corpo ainda está descendo, com velocidade, e passa do equilíbrio: a mola estica ainda mais.

A ideia em uma frase: ache onde a normal zera, com que velocidade o corpo sai dali, e some ao equilíbrio a amplitude do MHS que começa nesse instante.

Resposta: alternativa C ($\left[mg\,\text{sen}\,\alpha + m\sqrt{a(2g\,\text{sen}\,\alpha - a)}\right]/k$).