ITA 2010 — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o menor comprimento de corda que não arrebenta (tração ≤ $F$), depois que o quadro dilatou.

Passo 1 — o novo lado. $\beta$ é coeficiente superficial: a área cresce por $1 + \beta\Delta T$. Como a área é o lado ao quadrado, o lado cresce pela raiz:

$$\ell^{\prime 2} = \ell^2(1 + \beta\Delta T)$$

$$\ell^{\prime} = \ell\sqrt{1 + \beta\Delta T}$$

Passo 2 — o equilíbrio. Seja $L$ o comprimento da corda e $\theta$ o ângulo de cada metade com a horizontal. As pontas estão afastadas de $\ell^{\prime}$ (meios das arestas laterais), então cada metade, de comprimento $L/2$, cobre $\ell^{\prime}/2$ na horizontal:

$$\cos\theta = \frac{\ell^{\prime}}{L}$$

Na vertical, as duas metades sustentam o peso:

$$2T\,\text{sen}\,\theta = mg \;\Rightarrow\; T = \frac{mg}{2\,\text{sen}\,\theta}$$

Passo 3 — o limite de segurança. Corda mais curta deixa as metades mais “deitadas” ($\theta$ menor) e a tração maior. O comprimento mínimo é o que leva a $T = F$:

$$\text{sen}\,\theta = \frac{mg}{2F}$$

$$\cos\theta = \frac{\sqrt{4F^2 - m^2g^2}}{2F}$$

$$L_{\text{mín}} = \frac{\ell^{\prime}}{\cos\theta}$$

$$L_{\text{mín}} = \frac{2\ell F\sqrt{1 + \beta\Delta T}}{\sqrt{4F^2 - m^2g^2}}$$

Que é a (E), escrita com tudo sob uma raiz só.

Conferindo nos casos-limite: se $F$ for enorme, $L_{\text{mín}} \to \ell^{\prime}$ (a corda pode ficar quase horizontal). Se $2F = mg$, cada metade só aguenta metade do peso se ficar vertical, e $L_{\text{mín}} \to \infty$. Faz sentido.

⚠️ A armadilha: tratar $\beta$ como se fosse coeficiente linear e fazer $\ell^{\prime} = \ell(1 + \beta\Delta T)$: o resultado é a (C). Com $\beta$ superficial, o lado cresce com $\sqrt{1 + \beta\Delta T} \approx 1 + \beta\Delta T/2$.

A ideia em uma frase: a tração cresce quando a corda “deita”; o comprimento mínimo é o que leva a tração exatamente a $F$, com o lado dilatado pela raiz de $1 + \beta\Delta T$.

Resposta: alternativa E ($2\ell F\sqrt{(1+\beta\Delta T)/(4F^2 - m^2g^2)}$).