ITA 2010 — questão 14 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a forma (e a posição) da superfície onde o potencial das duas cargas se anula.

Passo 1 — a condição. Sejam $r_1$ e $r_2$ as distâncias de um ponto a $q_1$ e a $q_2$:

$$\frac{k_0\cdot 1}{r_1} + \frac{k_0\cdot(-2)}{r_2} = 0$$

$$r_2 = 2\,r_1$$

Passo 2 — em coordenadas. Com $q_1$ em $(-2, 0, 0)$ e $q_2$ em $(-8, 0, 0)$, eleve ao quadrado $r_2^2 = 4r_1^2$:

$$(x+8)^2 + y^2 + z^2 =$$

$$= 4\left[(x+2)^2 + y^2 + z^2\right]$$

Expandindo: $x^2 + 16x + 64 + y^2 + z^2 = 4x^2 + 16x + 16 + 4y^2 + 4z^2$. Os termos em $16x$ se cancelam:

$$3x^2 + 3y^2 + 3z^2 = 48$$

$$x^2 + y^2 + z^2 = 16$$

É uma esfera de centro na origem e raio 4 m: corta o eixo x em −4 m e em +4 m.

Conferindo: em $x = -4$: $r_1 = 2$, $r_2 = 4$, e $1/2 - 2/4 = 0$. Em $x = 4$: $r_1 = 6$, $r_2 = 12$, e $1/6 - 2/12 = 0$. Os dois pontos zeram o potencial.

⚠️ A armadilha: procurar o zero só entre as cargas, achar $x = -4$ e marcar a (E). O plano de potencial nulo só aparece quando as cargas têm o mesmo módulo e sinais opostos. Com módulos diferentes, a condição $r_2 = 2r_1$ define uma esfera que envolve a carga menor.

A ideia em uma frase: potencial nulo de duas cargas de módulos diferentes é o lugar em que a razão das distâncias é fixa: uma esfera (de Apolônio) em volta da carga menor.

Resposta: alternativa A (esfera que corta o eixo em $x = -4$ m e $x = 4$ m).