ITA 2015 — questão 3 de Física

Gabarito CDinâmica — partícula que se descola de um hemisfério (com atrito e com hemisfério livre)Prova de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 3 de Física do ITA 2015 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Constante dos gases: $R = 8\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ . Pressão atmosférica ao nível do mar: $P_0 = 100\ \text{kPa}$ . Massa molecular do $CO_2 = 44$ u. Calor latente do gelo: 80 cal/g. Calor específico do gelo: 0,5 cal/(g·K). 1 cal = $4 \times 10^7$ erg. Aceleração da gravidade: $g = 10{,}0\ \text{m/s}^2$ .

Uma massa puntiforme é abandonada com impulso inicial desprezível do topo de um hemisfério maciço em repouso sobre uma superfície horizontal. Ao descolar-se da superfície do hemisfério, a massa terá percorrido um ângulo $\theta$ em relação à vertical. Este experimento é realizado nas três condições seguintes, I, II e III, quando são medidos os respectivos ângulos $\theta_I$ , $\theta_{II}$ e $\theta_{III}$ :

I. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal e não há atrito entre a massa e o hemisfério.

II. O hemisfério é mantido preso à superfície horizontal, mas há atrito entre a massa e o hemisfério.

III. O hemisfério e a massa podem deslisar livremente pelas respectivas superfícies.

Nestas condições, pode-se afirmar que

A) $\theta_{II} < \theta_I$ e $\theta_{III} < \theta_I$ .

B) $\theta_{II} < \theta_I$ e $\theta_{III} > \theta_I$ .

C) $\theta_{II} > \theta_I$ e $\theta_{III} < \theta_I$ .

D) $\theta_{II} > \theta_I$ e $\theta_{III} > \theta_I$ .

E) $\theta_I = \theta_{III}$ .

(Enunciado: Vestibular ITA 2015, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: comparar o ângulo em que a massa se descola do hemisfério no caso ideal (I) com o caso com atrito (II) e com o caso em que o hemisfério também pode deslizar (III).

Passo 1 — a condição de descolamento. Enquanto a massa está na superfície, a componente do peso na direção do centro, menos a normal, faz o papel de resultante centrípeta (R é o raio do hemisfério):

$mg\cos\theta - N = \frac{m v^2}{R}$

Ela descola quando a normal zera, ou seja, quando

$v^2 = gR\cos\theta$

Repare: quanto maior a velocidade num dado ângulo, mais cedo essa condição é atingida.

Passo 2 — caso I (sem atrito, hemisfério preso). A energia mecânica se conserva:

$v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$

$2(1 - \cos\theta) = \cos\theta$

$\cos\theta_I = \tfrac{2}{3} \Rightarrow \theta_I \approx 48^{\circ}$

Passo 3 — caso II (com atrito). O atrito dissipa energia, então em cada ângulo a velocidade é menor que no caso I. A condição $v^2 = gR\cos\theta$ só é alcançada mais adiante, com cos θ menor: a massa “gruda” por mais tempo. Logo $\theta_{II} > \theta_I$ .

Passo 4 — caso III (hemisfério livre). Agora a normal empurra o hemisfério para trás: ele recua e “foge” de baixo da massa. A quantidade de movimento horizontal do conjunto se conserva (não há atrito com o chão), e a energia também. Fazendo as contas no referencial do hemisfério (M é a massa dele e u a velocidade da partícula em relação a ele), chega-se a

$u^2 = \frac{2gR(1-\cos\theta)}{1 - \frac{m}{m+M}\cos^2\theta}$

O denominador é menor que 1, então a velocidade relativa em cada ângulo é maior que no caso I. No instante do descolamento a normal é zero, o hemisfério deixa de ser acelerado e a condição continua sendo $u^2 = gR\cos\theta$ . Com u maior, ela é atingida antes: $\theta_{III} < \theta_I$ .

Conferindo com um número: para M = m, a condição vira $\cos^3\theta - 6\cos\theta + 4 = 0$ , cuja raiz útil é $\cos\theta = \sqrt{3} - 1 \approx 0{,}73$ , ou seja, θ ≈ 43°, menor que 48°. E se M fosse enorme, o hemisfério nem se mexeria e voltaríamos ao caso I.

⚠️ A armadilha: achar que o atrito faz a massa se soltar antes (alternativas A e B). É o contrário: com menos velocidade, falta “vontade” de sair pela tangente, e a massa acompanha a superfície por mais tempo.

A ideia em uma frase: a massa descola quando v² = gR cos θ; o atrito tira velocidade (descola depois) e o recuo do hemisfério aumenta a velocidade relativa (descola antes).

Resposta: alternativa C ( $\theta_{II} > \theta_I$ e $\theta_{III} < \theta_I$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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