ITA 2015 — questão 11 de Física

Gabarito AEstática — módulo de Young medido com polia e ponteiroProva de Física · testes 1 a 20
Enunciado — imagem da prova
Enunciado da questão 11 de Física do ITA 2015

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: … Aceleração da gravidade: g=10,0 m/s2g = 10{,}0\ \text{m/s}^2.

A figura mostra um dispositivo para medir o módulo de elasticidade (módulo de Young) de um fio metálico. Ele é definido como a razão entre o força por unidade de área da seção transversal do fio necessária para esticá-lo e o resultante alongamento deste por unidade de seu comprimento. Neste particular experimento, um fio homogêneo de 1,0 m de comprimento e 0,2 mm de diâmetro, fixado numa extremidade, é disposto horizontalmente e preso pela outra ponta ao topo de uma polia de raio rr. Um outro fio preso neste mesmo ponto, envolvendo parte da polia, sustenta uma massa de 1 kg. Solidário ao eixo da polia, um ponteiro de raio R=10rR = 10r acusa uma leitura de 10 mm na escala semicircular iniciada em zero. Nestas condições, o módulo de elasticidade do fio é de

[Figura: à esquerda, uma parede; dela sai, na horizontal, o fio que chega ao topo de uma polia de raio rr. Pelo lado direito da polia desce o outro fio, que sustenta um bloco de 1 kg. Preso ao eixo da polia, um ponteiro de comprimento RR aponta para cima, sobre uma escala semicircular graduada em mm de 0 (no alto) a 90 (à direita), com marcas de 10 em 10; o ponteiro está sobre a marca 10.]

A) 1012π N/m2\dfrac{10^{12}}{\pi}\ \text{N/m}^2.

B) 10122π N/m2\dfrac{10^{12}}{2\pi}\ \text{N/m}^2.

C) 10123π N/m2\dfrac{10^{12}}{3\pi}\ \text{N/m}^2.

D) 10124π N/m2\dfrac{10^{12}}{4\pi}\ \text{N/m}^2.

E) 10128π N/m2\dfrac{10^{12}}{8\pi}\ \text{N/m}^2.

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2015, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: o módulo de Young do fio, a partir da força que o estica e do alongamento indicado pelo ponteiro.

Passo 1 — a força no fio. A polia gira livre em torno do eixo; em equilíbrio, os momentos em relação ao eixo se anulam. O fio horizontal puxa no topo (braço r) e o fio do bloco puxa pelo lado (braço r também):

T⋅r=mg⋅r⇒T=mg=10 NT \cdot r = mg \cdot r \Rightarrow T = mg = 10\ \text{N}

Passo 2 — o alongamento. O ponteiro gira junto com a polia, então o arco que a ponta dele percorre é proporcional ao raio. A ponta (raio R = 10r) andou 10 mm; a borda da polia (raio r), onde o fio está preso, andou 10 vezes menos:

ΔL=10 mm10=1 mm=10−3 m\Delta L = \frac{10\ \text{mm}}{10} = 1\ \text{mm} = 10^{-3}\ \text{m}

Esse é o quanto o fio se esticou.

Passo 3 — a área da seção. Diâmetro 0,2 mm, raio 0,1 mm = 10⁻⁴ m:

A=π (10−4)2=π×10−8 m2A = \pi\,(10^{-4})^2 = \pi \times 10^{-8}\ \text{m}^2

Passo 4 — o módulo de Young.

Y=T/AΔL/L=T LA ΔLY = \frac{T/A}{\Delta L/L} = \frac{T\,L}{A\,\Delta L}

Y=10×1π×10−8×10−3Y = \frac{10 \times 1}{\pi \times 10^{-8} \times 10^{-3}}

Y=1012π N/m2Y = \frac{10^{12}}{\pi}\ \text{N/m}^2

⚠️ A armadilha: usar o diâmetro no lugar do raio na área. Com r = 0,2 mm, a área fica 4 vezes maior e o resultado 4 vezes menor: 1012/(4π)10^{12}/(4\pi), a alternativa D. Outro tropeço é tomar os 10 mm da escala como o alongamento, esquecendo que o ponteiro amplia o movimento 10 vezes.

A ideia em uma frase: o ponteiro amplia o alongamento na razão R/r; descontada essa ampliação, Y = (F/A)/(ΔL/L).

Resposta: alternativa A (1012/π N/m210^{12}/\pi\ \text{N/m}^2).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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