ITA 2015 — questão 19 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade com que o múon precisa viajar para que a descida de 1 km dure, no relógio dele, uma meia-vida (1,5 μs), o que dá 50% de chance de sobreviver.

Passo 1 — a física clássica não basta. Sem relatividade, ele teria de percorrer 1 km em 1,5 μs: $v = 1000/(1{,}5 \times 10^{-6}) \approx 6{,}7 \times 10^{8}$ m/s, mais que a velocidade da luz. Impossível: é preciso usar a dilatação do tempo.

Passo 2 — a dilatação do tempo. A meia-vida de 1,5 μs vale no referencial do múon (tempo próprio, τ). Para a Terra, a viagem dura t = 1000/v, e as duas medidas se relacionam por

$$t = \frac{\tau}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$$

$$\frac{1000}{v} = \frac{1{,}5 \times 10^{-6}}{\sqrt{1 - \beta^2}}$$

com β = v/c e c = 3 × 10⁸ m/s.

Passo 3 — resolver. Escrevendo v = βc:

$$\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} = \frac{1{,}5 \times 10^{-6} \cdot 3 \times 10^{8}}{1000}$$

$$\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{\beta} = 0{,}45$$

$$\frac{1}{\beta^2} - 1 = 0{,}2025$$

$$\beta^2 \approx 0{,}832 \Rightarrow \beta \approx 0{,}912$$

$$v \approx 2{,}7 \times 10^{8}\ \text{m/s}$$

Por que “mínima”: mais rápido, a viagem dura menos que uma meia-vida no relógio do múon, e a chance de chegar passa de 50%. Abaixo disso, fica menor que 50%.

Conferindo pelo outro referencial: para o múon, é a distância que se contrai: 1 km × √(1 − 0,832) ≈ 0,41 km, percorrido a 2,74 × 10⁸ m/s em cerca de 1,5 μs. Confere.

⚠️ A armadilha: dividir a distância pelo tempo sem relatividade, o que dá uma velocidade maior que a da luz e nenhuma alternativa coerente.

A ideia em uma frase: a meia-vida vale no relógio do múon; para a Terra, ela se dilata pelo fator γ, e é isso que deixa o múon chegar ao chão.

Resposta: alternativa E ($2{,}7 \times 10^{8}$ m/s).