ITA 2015 — questão 16 de Física

Gabarito ATermodinâmica — trabalho na expansão adiabática reescrito com temperaturasProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 16 de Física do ITA 2015 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Constantes dadas na prova: Constante dos gases: $R = 8\ \text{J/(mol}\cdot\text{K)}$ . Pressão atmosférica ao nível do mar: $P_0 = 100\ \text{kPa}$ . Massa molecular do $CO_2 = 44$ u. Calor latente do gelo: 80 cal/g. Calor específico do gelo: 0,5 cal/(g·K). 1 cal = $4 \times 10^7$ erg. Aceleração da gravidade: $g = 10{,}0\ \text{m/s}^2$ .

Numa expansão muito lenta, o trabalho efetuado por um gás num processo adiabático é

$W_{12} = \frac{P_1 V_1^{\gamma}}{1-\gamma}\left(V_2^{1-\gamma} - V_1^{1-\gamma}\right),$

em que $P, V, T$ são, respectivamente, a pressão, o volume e a temperatura do gás, e $\gamma$ uma constante, sendo os subscritos 1 e 2 representativos, respectivamente, do estado inicial e final do sistema. Lembrando que $PV^{\gamma}$ é constante no processo adiabático, esta fórmula pode ser reescrita deste modo:

A) $\dfrac{P_1\left[V_1 - V_2\,(T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)}\right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_1/V_2)}$

B) $\dfrac{P_2\left[V_1 - V_2\,(T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)}\right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_2/V_1)}$

C) $\dfrac{P_2\left[V_1 - V_2\,(T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)}\right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_1/V_2)}$

D) $\dfrac{P_1\left[V_1 - V_2\,(T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)}\right]}{\ln(T_2/T_1)/\ln(V_2/V_1)}$

E) $\dfrac{P_2\left[V_1 - V_2\,(T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)}\right]}{\ln(T_1/T_2)/\ln(V_2/V_1)}$

(Enunciado: Vestibular ITA 2015, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: reescrever o trabalho adiabático usando temperaturas e logaritmos, como nas alternativas.

Passo 1 — simplificar a fórmula dada. Distribuindo $P_1V_1^{\gamma}$ e usando $P_1V_1^{\gamma} = P_2V_2^{\gamma}$ no primeiro termo:

$W_{12} = \frac{P_2V_2 - P_1V_1}{1-\gamma}$

$W_{12} = \frac{P_1V_1 - P_2V_2}{\gamma - 1}$

Passo 2 — o denominador, γ − 1. Combinando $PV^{\gamma}$ = constante com $PV = nRT$ , vem $TV^{\gamma-1}$ = constante:

$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$

$\gamma - 1 = \frac{\ln(T_2/T_1)}{\ln(V_1/V_2)}$

Passo 3 — o numerador. Elevando a relação do Passo 2 à potência $\gamma/(\gamma-1)$ :

$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma} = \frac{P_2}{P_1}$

Então $P_1V_2\,(T_2/T_1)^{\gamma/(\gamma-1)} = P_2V_2$ , e o numerador fica

$P_1V_1 - P_2V_2 =$

$= P_1\left[V_1 - V_2\left(\tfrac{T_2}{T_1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}\right]$

Juntando numerador e denominador, chega-se exatamente à alternativa A.

Por que não as outras: B, C e E começam com $P_2$ fora do colchete, o que não dá $P_1V_1 - P_2V_2$ . A D tem $\ln(V_2/V_1)$ no denominador, que vale $-(\gamma - 1)$ : troca o sinal do trabalho. (Repare que o denominador da E, $\ln(T_1/T_2)/\ln(V_2/V_1)$ , é igual ao da A, porque os dois logaritmos trocam de sinal; o erro da E está no $P_2$ .)

⚠️ A armadilha: conferir só o denominador. Ele é igual em A e E; a diferença está no fator $P_1$ ou $P_2$ do numerador.

A ideia em uma frase: no processo adiabático, W = (P₁V₁ − P₂V₂)/(γ − 1), e a relação TV^(γ−1) = constante permite trocar volumes e pressões por temperaturas.

Resposta: alternativa A.

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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