ITA 2013 — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a velocidade com que a rampa recua quando o corpo chega ao piso.

Passo 1 — a geometria. Com $\tan\theta = 3/4$, o triângulo é o 3-4-5: $\text{sen}\,\theta = 3/5$ e $\cos\theta = 4/5$. Descendo 15 m pela rampa, o corpo perde a altura:

$$h = 15 \times \frac{3}{5} = 9\ \text{m}$$

Passo 2 — quantidade de movimento na horizontal. Sem atrito, nenhuma força externa horizontal age sobre o conjunto corpo + rampa, que partiu do repouso. Se a rampa recua com velocidade $V$, o corpo anda para a frente com velocidade horizontal $v_x$ tal que:

$$80\,v_x = 120\,V \;\Rightarrow\; v_x = 1{,}5\,V$$

Passo 3 — a velocidade vertical do corpo. Cuidado: é a velocidade do corpo em relação à rampa que segue a inclinação, não a velocidade em relação ao piso. Em relação à rampa, o corpo anda na horizontal $v_x + V = 2{,}5\,V$ (os dois se afastam). Como a rampa não sobe nem desce, a velocidade vertical do corpo é a mesma nos dois referenciais, e a direção da rampa dá:

$$v_y = 2{,}5\,V \times \tan\theta = 1{,}875\,V$$

Passo 4 — conservação da energia. Sem atrito, a energia potencial perdida pelo corpo vira energia cinética do corpo e da rampa:

$$m g h = 80 \times 10 \times 9 = 7200\ \text{J}$$

$$7200 = 40\,(v_x^2 + v_y^2) + 60\,V^2$$

$$7200 = 40\,(2{,}25 + 3{,}52)\,V^2 + 60\,V^2$$

$$7200 \approx 290{,}6\,V^2$$

$$V^2 \approx 24{,}8 \;\Rightarrow\; V \approx 5\ \text{m/s}$$

Conferindo: o corpo sai com $v_x \approx 7{,}5$ m/s e $v_y \approx 9{,}3$ m/s. A energia cinética total fica $40 \times (56 + 87) + 60 \times 24{,}8 \approx 5\,720 + 1\,490 \approx 7\,200$ J, que é a energia potencial perdida.

⚠️ A armadilha: supor que a velocidade do corpo em relação ao piso tem a direção da rampa ($v_y = 0{,}75\,v_x$). Isso só vale se a rampa estiver presa. Com essa hipótese errada, a conta dá $V \approx 6$ m/s, fora das alternativas. Outra armadilha é esquecer a energia cinética da rampa.

A ideia em uma frase: com a rampa livre, a horizontal conserva quantidade de movimento, a energia mecânica se conserva, e a inclinação vale para a velocidade relativa à rampa.

Resposta: alternativa C (aproximadamente 5 m/s).