ITA 2013 — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o coeficiente de restituição do choque com a parede para que a bola volte exatamente ao ponto de partida.

Passo 1 — o que o choque muda. A parede é lisa e vertical: a força dela é horizontal. Então o choque só mexe na componente horizontal da velocidade, que inverte o sentido e é multiplicada por $e$. A componente vertical não muda, e o movimento vertical segue como se não houvesse parede.

$$\text{antes: } v_0\cos\alpha$$

$$\text{depois: } e\,v_0\cos\alpha$$

Passo 2 — o tempo total no ar. A bola sai do chão e volta ao chão (ao ponto $P$). Pelo movimento vertical, isso leva o tempo de voo de sempre:

$$t_{\text{total}} = \frac{2v_0\,\text{sen}\,\alpha}{g}$$

Passo 3 — o mesmo tempo pelo movimento horizontal. Ida até a parede e volta, cada trecho com velocidade horizontal constante:

$$t_{\text{total}} = \frac{d}{v_0\cos\alpha} + \frac{d}{e\,v_0\cos\alpha}$$

Passo 4 — igualar e isolar $e$:

$$\frac{d}{v_0\cos\alpha}\left(1 + \frac{1}{e}\right) = \frac{2v_0\,\text{sen}\,\alpha}{g}$$

$$1 + \frac{1}{e} = \frac{v_0^2\,\text{sen}\,2\alpha}{gd}$$

(usando $2\,\text{sen}\,\alpha\cos\alpha = \text{sen}\,2\alpha$). Então:

$$e = \frac{gd}{v_0^2\,\text{sen}\,2\alpha - gd}$$

Conferindo: com choque elástico ($e = 1$), a fórmula dá $d = v_0^2\,\text{sen}\,2\alpha/(2g)$, a metade do alcance. Faz sentido: a parede está no meio do caminho, e a volta é o espelho da ida.

⚠️ A armadilha: achar que a parede também mexe na velocidade vertical, ou que o tempo de volta é igual ao de ida. A parede lisa só empurra na horizontal; o que muda na volta é só a rapidez horizontal, e por isso a volta demora mais ($1/e$ vezes o tempo de ida).

A ideia em uma frase: a parede lisa só mexe na velocidade horizontal: o tempo de voo vem da vertical, e ele tem de bastar para a ida e a volta na horizontal.

Resposta: alternativa A ($e = gd/(v_0^2\,\text{sen}\,2\alpha - gd)$).