ITA 2013 — questão 10 de Física

Gabarito BEletrostática — capacitor com dielétrico parcial (associação em paralelo)Prova de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 10 de Física do ITA 2013 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Certo produto industrial constitui-se de uma embalagem rígida cheia de óleo, de dimensões $L \times L \times d$ , sendo transportado numa esteira que passa por um sensor capacitivo de duas placas paralelas e quadradas de lado $L$ , afastadas entre si de uma distância ligeiramente maior que $d$ , conforme a figura. Quando o produto estiver inteiramente inserido entre as placas, o sensor deve acusar um valor de capacitância $C_0$ . Considere, contudo, tenha havido antes um indesejado vazamento de óleo, tal que a efetiva medida da capacitância seja $C = 3/4C_0$ . Sendo dadas as respectivas constantes dielétricas do óleo, $\kappa = 2$ ; e do ar, $\kappa_{ar} = 1$ , e desprezando o efeito da constante dielétrica da embalagem, assinale a percentagem do volume de óleo vazado em relação ao seu volume original.

[Figura: uma esteira leva o “produto”, uma caixa de altura $L$ , largura $L$ e espessura $d$ , em pé. Mais adiante, o “sensor capacitivo”: duas placas quadradas verticais de lado $L$ , paralelas, separadas por uma distância um pouco maior que $d$ ( $\gtrsim d$ ), entre as quais a caixa passa.]

A) 5%

B) 50%

C) 100%

D) 10%

E) 75%

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2013, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: que fração do óleo vazou, sabendo que a capacitância caiu para 3/4 do valor esperado.

Passo 1 — a capacitância com a embalagem cheia. Placas de área $L^2$ , distância praticamente $d$ , tudo preenchido com óleo ( $\kappa = 2$ ):

$C_0 = \frac{2\,\varepsilon_0 L^2}{d}$

Passo 2 — com vazamento. A caixa está em pé; o óleo que sobrou fica embaixo, até uma altura $fL$ ( $f$ é a fração de óleo que restou), e em cima fica ar. As duas regiões estão lado a lado entre as placas: cada uma liga uma placa à outra. Isso é uma associação em paralelo, e as capacitâncias se somam:

$C = \frac{2\,\varepsilon_0\,(fL)L}{d} + \frac{\varepsilon_0\,(1-f)L\cdot L}{d}$

$C = \frac{\varepsilon_0 L^2}{d}\,(1 + f)$

Passo 3 — usar $C = \tfrac{3}{4}C_0$ :

$\frac{\varepsilon_0 L^2}{d}(1 + f) = \frac{3}{4}\cdot\frac{2\,\varepsilon_0 L^2}{d}$

$1 + f = 1{,}5 \;\Rightarrow\; f = 0{,}5$

Restou metade do óleo: vazaram 50%.

Conferindo: sem óleo nenhum ( $f = 0$ ), a capacitância seria $\varepsilon_0 L^2/d = C_0/2$ . Então $C$ varia de $C_0/2$ (vazio) a $C_0$ (cheio), linearmente com o volume de óleo; $3C_0/4$ fica bem no meio: metade do óleo.

⚠️ A armadilha: achar que, se a capacitância caiu 25%, vazaram 25% do óleo (valor que nem está nas alternativas). A parte que esvaziou não some do capacitor: ela continua lá, cheia de ar, contribuindo com metade do que o óleo contribuía.

A ideia em uma frase: materiais lado a lado entre as placas formam capacitores em paralelo, e as capacitâncias se somam proporcionalmente à área de cada um.

Resposta: alternativa B (50%).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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