ITA 2013 — questão 1 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: achar o instante em que helicóptero e avião ficam mais próximos e, com ele, testar as cinco afirmações.

Passo 1 — as posições. Ponha a origem em $O$, o eixo $x$ para leste e o eixo $y$ para norte, e conte o tempo a partir do instante da figura. O helicóptero sobe pelo eixo $y$; o avião vem pelo eixo $x$, de $P$ para $O$:

$$\text{helicóptero: } (0,\ vt)$$

$$\text{avião: } (\delta - ut,\ 0)$$

Passo 2 — a distância ao quadrado. Pelo teorema de Pitágoras:

$$d^2 = (\delta - ut)^2 + (vt)^2$$

$$d^2 = (u^2+v^2)\,t^2 - 2\delta u\,t + \delta^2$$

É uma parábola em $t$ com a concavidade para cima. O mínimo de $d$ acontece no mesmo instante que o mínimo de $d^2$, o vértice dessa parábola:

$$t = \frac{2\delta u}{2(u^2+v^2)} = \frac{\delta u}{u^2+v^2}$$

Passo 3 — onde está o avião nesse instante. A distância dele a $O$ é:

$$\delta - ut = \delta - \frac{\delta u^2}{u^2+v^2}$$

$$\delta - ut = \frac{\delta v^2}{u^2+v^2}$$

É exatamente a afirmação C.

Por que não as outras:

• A: o avião chega a $O$ em $\delta/u$; nesse tempo o helicóptero anda $v\cdot\delta/u = \delta v/u$, e não $\delta u/v$.

• B: no instante $t$, o helicóptero está a $vt = \delta uv/(u^2+v^2)$ de $O$.

• D: o instante é $\delta u/(u^2+v^2)$, com $u$ no numerador.

• E: a distância mínima é $d = \delta v/\sqrt{u^2+v^2}$ (veja a conferência abaixo), com $v$ no numerador.

Conferindo pelo movimento relativo: visto do avião, o helicóptero tem velocidade $(0, v) - (-u, 0) = (u, v)$ e parte da posição $(-\delta, 0)$. Ele anda em linha reta; a distância mínima é a distância do avião a essa reta. A reta faz com o eixo $x$ um ângulo de seno $v/\sqrt{u^2+v^2}$, então $d_{\text{mín}} = \delta v/\sqrt{u^2+v^2}$. E, de fato, substituindo o instante do Passo 2 na expressão de $d^2$:

$$d^2 = \frac{\delta^2 v^4 + \delta^2 u^2 v^2}{(u^2+v^2)^2}$$

$$d^2 = \frac{\delta^2 v^2}{u^2+v^2}$$

É o mesmo resultado.

⚠️ A armadilha: as alternativas erradas são as fórmulas certas com $u$ e $v$ trocados (D e E). Quem resolve “de cabeça” e não confere qual velocidade está em qual eixo cai nelas. Teste rápido: se o helicóptero estivesse parado ($v = 0$), a distância mínima seria zero (o avião passa por cima de $O$), e só $\delta v/\sqrt{u^2+v^2}$ dá zero.

A ideia em uma frase: escreva a distância em função do tempo e ache o vértice da parábola — ou, mais rápido, olhe o movimento do ponto de vista de um dos móveis.

Resposta: alternativa C (o avião está a $\delta v^2/(v^2+u^2)$ de $O$).