ITA 2013 — questão 2 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quão grande tem de ser a deformação inicial $b$ da mola para que, depois que o fio arrebenta, a caixa chegue a sair do chão.

Passo 1 — a situação antes do rompimento. O corpo está pendurado na mola, presa ao teto da caixa, e o fio o puxa para baixo. Então a mola está esticada de $b$: ela segura o peso e a tração, $kb = mg + T$.

Passo 2 — o movimento depois do rompimento. Sem o fio, o corpo faz um MHS. O centro da oscilação é a nova posição de equilíbrio, onde a mola está esticada de $mg/k$. O corpo parte do repouso com a mola esticada de $b$, então a amplitude é:

$$A = b - \frac{mg}{k}$$

Passo 3 — o ponto mais alto. O MHS é simétrico em torno do equilíbrio: no ponto mais alto o corpo fica uma amplitude acima dele. A deformação da mola ali é:

$$x = \frac{mg}{k} - A = \frac{2mg}{k} - b$$

Se $b > 2mg/k$, esse número é negativo: a mola fica comprimida de $b - 2mg/k$ e empurra o teto da caixa para cima com força

$$F = k\left(b - \frac{2mg}{k}\right) = kb - 2mg$$

Passo 4 — a caixa sai do chão. Sobre a caixa agem o peso $Mg$, a força da mola no teto e a normal do piso. Enquanto a mola está esticada, ela puxa o teto para baixo e só aumenta a normal. A caixa perde contato quando a mola comprimida empurra para cima mais do que o peso da caixa:

$$kb - 2mg > Mg$$

$$b > \frac{(M+2m)\,g}{k}$$

Conferindo: se $M = 0$, a condição vira $b > 2mg/k$, ou seja, basta a mola chegar a ser comprimida para “levantar” uma caixa sem peso. Faz sentido.

⚠️ A armadilha: achar que o corpo oscila em torno do comprimento natural da mola. Aí a compressão máxima seria $b - mg/k$, e a condição $k(b - mg/k) > Mg$ dá $b > (M+m)g/k$, a alternativa A. O centro do MHS vertical é a posição de equilíbrio com o peso, esticada de $mg/k$, e não o comprimento natural.

A ideia em uma frase: no MHS vertical, o corpo sobe acima do equilíbrio o mesmo tanto que estava abaixo dele; a caixa só sai do chão se, lá em cima, a mola comprimida empurrar mais do que o peso da caixa.

Resposta: alternativa B ($b > (M+2m)g/k$).