ITA 2013 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o intervalo de acelerações em que os três cilindros andam juntos, sem que nenhum contato se desfaça.

Passo 1 — a geometria. Chame de 1 e 2 os cilindros de baixo (1 à esquerda, onde atua $F$) e de 3 o de cima. Os centros dos três formam um triângulo equilátero, então a reta que liga o centro de um cilindro de baixo ao centro do de cima faz $60^{\circ}$ com a horizontal. Sem atrito, as forças de contato são normais: cada uma está nessa reta que liga os centros.

Passo 2 — o cilindro de cima. O cilindro 1 o empurra com $N_{13}$, para cima e para a frente; o cilindro 2 o empurra com $N_{23}$, para cima e para trás. Todos andam com a mesma aceleração $a$, para a frente. Na vertical (equilíbrio) e na horizontal (2ª lei de Newton):

$$(N_{13} + N_{23})\,\text{sen}\,60^{\circ} = mg$$

$$(N_{13} - N_{23})\cos 60^{\circ} = ma$$

Resolvendo:

$$N_{13} + N_{23} = \frac{2mg}{\sqrt{3}}$$

$$N_{13} - N_{23} = 2ma$$

$$N_{23} = \frac{mg}{\sqrt{3}} - ma$$

Passo 3 — limite de cima. Para o cilindro de cima continuar encostado no 2, é preciso $N_{23} \ge 0$:

$$a \le \frac{g}{\sqrt{3}}$$

Com aceleração maior, só o cilindro 1 não dá conta de empurrar o de cima para a frente: ele “fica para trás” e perde contato com o 2.

Passo 4 — o cilindro da direita. Na horizontal, o cilindro 2 recebe o empurrão do 1 ($N_{12}$, para a frente) e a componente horizontal de $N_{23}$, que o cilindro de cima faz sobre ele, também para a frente:

$$N_{12} + N_{23}\cos 60^{\circ} = ma$$

$$N_{12} = ma - \frac{1}{2}\left(\frac{mg}{\sqrt{3}} - ma\right)$$

$$N_{12} = \frac{3ma}{2} - \frac{mg}{2\sqrt{3}}$$

Passo 5 — limite de baixo. Para os cilindros 1 e 2 continuarem encostados, $N_{12} \ge 0$:

$$a \ge \frac{g}{3\sqrt{3}}$$

Com aceleração menor, o cilindro de cima funciona como uma cunha e afasta os dois de baixo.

Conferindo: com $F = 0$ ($a = 0$), $N_{12}$ seria negativo: sem atrito, a pirâmide de cilindros não fica de pé sozinha, os de baixo escorregam para os lados. É por isso que existe um limite inferior.

⚠️ A armadilha: esquecer que o cilindro de cima também empurra o da direita para a frente (a componente horizontal de $N_{23}$) e escrever $N_{12} = ma$, que nunca é negativo. Aí some o limite inferior, e não se chega a nenhuma alternativa. Também é comum trocar seno e cosseno de $60^{\circ}$ na decomposição das normais.

A ideia em uma frase: aceleração demais e o cilindro de cima fica para trás; aceleração de menos e ele afasta os de baixo como uma cunha — cada limite sai de uma normal igual a zero.

Resposta: alternativa A ($g/(3\sqrt{3}) \le a \le g/\sqrt{3}$).