ITA 2013 — questão 8 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto a energia interna do gás mudou no instante em que o cilindro atinge a velocidade $v_c$.

Passo 1 — a primeira lei. Na expansão adiabática não há troca de calor: $Q = 0$. Então $\Delta U = -W$, onde $W$ é o trabalho que o gás realiza. Esse trabalho empurra o êmbolo para um lado e o cilindro para o outro, e vira energia cinética deles (sem atrito, nada se perde; a energia cinética do próprio gás é desprezível, porque a massa dele é muito pequena):

$$\Delta U = -\left(\frac{m_c v_c^2}{2} + \frac{m_e v_e^2}{2}\right)$$

Passo 2 — a velocidade do êmbolo. O sistema está livre de forças externas e parte do repouso: a quantidade de movimento total continua zero. Desprezando a do gás:

$$m_c v_c = m_e v_e \;\Rightarrow\; v_e = \frac{m_c}{m_e}\,v_c$$

Passo 3 — substituir:

$$\Delta U = -\frac{m_c v_c^2}{2} - \frac{m_e}{2}\cdot\frac{m_c^2 v_c^2}{m_e^2}$$

$$\Delta U = -\frac{m_c v_c^2}{2}\left(1 + \frac{m_c}{m_e}\right)$$

$$\Delta U = -\frac{m_c(m_e + m_c)\,v_c^2}{2m_e}$$

Por que não as outras: A e B não dependem de $v_c$, então não podem dar a variação “quando a velocidade do cilindro for $v_c$” (e A nem tem unidade de energia). D supõe êmbolo e cilindro com a mesma rapidez, o que só vale se as massas forem iguais. E troca os papéis das massas.

Conferindo: se o êmbolo for muito mais pesado ($m_e \to \infty$), ele quase não se mexe e a fórmula vira $-m_c v_c^2/2$: toda a energia vai para o cilindro. Coerente.

⚠️ A armadilha: a alternativa E. Ela sai de escrever $v_e$ com as massas invertidas. Na conservação da quantidade de movimento, o corpo mais leve é o que ganha mais velocidade: $v_e/v_c = m_c/m_e$.

A ideia em uma frase: sem calor e sem força externa, a energia interna que o gás perde vira energia cinética das duas peças, que saem com quantidades de movimento iguais e opostas.

Resposta: alternativa C ($\Delta U = -m_c(m_e + m_c)v_c^2/(2m_e)$).