ITA 2013 — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a condição sobre o ângulo $\theta$ (de $F$ até o topo $P$, visto do centro) no instante em que a partícula $F$ descola do cilindro.

Passo 1 — onde estão as partículas. A corda abraça sempre um arco de $90^{\circ}$. No sentido anti-horário, $F$ desce pela esquerda e $G$ sobe pela direita, rumo ao topo. Quando $F$ está a $\theta$ do topo, $G$ está a $90^{\circ} - \theta$ do topo, do outro lado. As alturas, em relação ao centro $O$:

$$h_F = r\cos\theta$$

$$h_G = r\cos(90^{\circ} - \theta) = r\,\text{sen}\,\theta$$

Passo 2 — a velocidade (energia). Sem atrito, a energia mecânica se conserva. A corda é inextensível, então as duas partículas têm a mesma rapidez $v$. Na partida, cada uma estava na altura $r\cos 45^{\circ} = r\sqrt{2}/2$, e o sistema saiu praticamente do repouso. A energia cinética das duas, $2 \cdot mv^2/2 = mv^2$, é a energia potencial perdida:

$$m v^2 = mg\,r\,[\sqrt{2} - (\cos\theta + \text{sen}\,\theta)]$$

$$v^2 = g\,r\,(\sqrt{2} - \cos\theta - \text{sen}\,\theta)$$

Passo 3 — a condição de descolar. $F$ anda num arco de circunferência de raio $r$. Na direção do centro agem a componente radial do peso, $mg\cos\theta$, e a normal $N$, para fora. A tração da corda é tangente à superfície e não entra nessa direção. A resultante centrípeta é:

$$mg\cos\theta - N = \frac{mv^2}{r}$$

$F$ perde contato quando $N = 0$:

$$g\cos\theta = g(\sqrt{2} - \cos\theta - \text{sen}\,\theta)$$

$$2\cos\theta + \text{sen}\,\theta = \sqrt{2}$$

Conferindo: no início, $\theta = 45^{\circ}$ e $2\cos\theta + \text{sen}\,\theta = 3\sqrt{2}/2 > \sqrt{2}$: ainda há contato. Conforme $\theta$ cresce, a expressão diminui e chega a $\sqrt{2}$ por volta de $77^{\circ}$. E é mesmo $F$ quem solta primeiro: a mesma conta para $G$ dá $N_G = mg(2\,\text{sen}\,\theta + \cos\theta - \sqrt{2})$, que é maior que a normal em $F$ quando $\theta > 45^{\circ}$. A corda também continua esticada: a tração sai $T = mg(\text{sen}\,\theta + \cos\theta)/2 > 0$.

⚠️ A armadilha: tratar $F$ como um bloco sozinho escorregando a partir do topo, esquecendo que a outra partícula sobe e “rouba” energia. A energia é do sistema todo: a massa $G$ ganha altura e as duas ganham energia cinética. E cuidado com a partícula: fazer $N = 0$ para $G$ em vez de $F$ dá $2\,\text{sen}\,\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$, a alternativa C.

A ideia em uma frase: descolar é normal igual a zero: o peso radial sozinho tem de dar conta da centrípeta, com a velocidade tirada da energia do sistema inteiro.

Resposta: alternativa D ($2\cos\theta + \text{sen}\,\theta = \sqrt{2}$).