ITA 2013 — questão 19 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a corrente $i$ da espira, e seu sentido, para que o módulo do campo no centro seja o mesmo antes e depois de colocar os fios.

Passo 1 — o campo dos fios no centro. Fio longo: $B = \mu_0 I/(2\pi r)$, com $r = 2R$. Pela regra da mão direita, o fio de cima (corrente para a direita) cria, abaixo dele, campo entrando no papel; o fio de baixo (corrente para a esquerda) cria, acima dele, campo também entrando. Os dois se somam:

$$B_{\text{fios}} = \frac{\mu_0 (i_1 + i_2)}{2\pi \cdot 2R}$$

$$B_{\text{fios}} = \frac{\mu_0 (i_1 + i_2)}{4\pi R}\ \ (\text{entrando})$$

Passo 2 — o campo da espira. No centro de uma espira circular:

$$B_{\text{esp}} = \frac{\mu_0\, i}{2R}$$

Ele entra no papel se a corrente for horária e sai se for anti-horária.

Passo 3 — manter o módulo. Antes dos fios, o módulo é $B_{\text{esp}}$. Se a espira for horária, os campos se somam e o módulo aumenta: não serve. Com a espira anti-horária, os campos têm sentidos opostos. Para o módulo continuar o mesmo, o resultado tem de ser $B_{\text{esp}}$ apontando para o outro lado, entrando:

$$B_{\text{fios}} - B_{\text{esp}} = B_{\text{esp}}$$

$$B_{\text{fios}} = 2\,B_{\text{esp}}$$

$$\frac{\mu_0 (i_1 + i_2)}{4\pi R} = \frac{\mu_0\, i}{R}$$

$$i = \frac{i_1 + i_2}{4\pi}$$

⚠️ A armadilha: igualar o campo da espira ao dos fios, $\mu_0 i/(2R) = \mu_0(i_1+i_2)/(4\pi R)$, o que dá $i = (i_1 + i_2)/(2\pi)$ anti-horário, a alternativa B. Mas aí o campo resultante seria zero, e o módulo teria mudado. O enunciado pede o mesmo módulo, não campo nulo: o resultado tem de “virar” para o outro lado com o mesmo tamanho.

A ideia em uma frase: para o módulo não mudar com os fios, a espira tem de se opor a eles e o campo resultante tem de inverter — os fios valem o dobro da espira.

Resposta: alternativa D ($i = (i_1 + i_2)/(4\pi)$, sentido anti-horário).