ITA 2013 — questão 5 de Física

Gabarito AEstática — barra com duas massas apoiada dentro de uma casca hemisférica lisaProva de Física · testes 1 a 20

Enunciado da questão 5 de Física do ITA 2013 — Enunciado — imagem da prova

Enunciado em texto

Duas partículas, de massas $m$ e $M$ , estão respectivamente fixadas nas extremidades de uma barra de comprimento $L$ e massa desprezível. Tal sistema é então apoiado no interior de uma casca hemisférica de raio $r$ , de modo a se ter equilíbrio estático com $m$ posicionado na borda $P$ da casca e $M$ , num ponto $Q$ , conforme mostra a figura. Desconsiderando forças de atrito, a razão $m/M$ entre as massas é igual a

[Figura: corte de uma casca hemisférica com a abertura para cima, de centro $O$ e raio $r$ ; uma linha tracejada horizontal passa por $O$ e pelas bordas. A partícula $m$ está na borda esquerda, ponto $P$ . A barra de comprimento $L$ desce de $P$ até a partícula $M$ , no ponto $Q$ da parede interna, à direita e abaixo de $O$ .]

A) $(L^2 - 2r^2)/(2r^2)$ .

B) $(2L^2 - 3r^2)/(2r^2)$ .

C) $(L^2 - 2r^2)(r^2 - L^2)$ .

D) $(2L^2 - 3r^2)/(r^2 - L^2)$ .

E) $(3L^2 - 2r^2)/(L^2 - 2r^2)$ .

(Enunciado e figura: Vestibular ITA 2013, prova de Física — ITA.)

Transcrição do enunciado original da prova, reproduzido para fins de estudo. Todos os direitos do enunciado pertencem ao Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA).

Resolução comentada

O que a questão pede: a razão entre as massas para que a barra fique parada na posição da figura.

Passo 1 — as forças. Sobre o sistema agem os dois pesos e as duas forças da casca. Sem atrito, a casca só empurra perpendicularmente à sua superfície, e numa esfera a perpendicular à superfície passa pelo centro. Então:

• em $Q$ , a normal aponta de $Q$ para $O$ ;

• em $P$ , na borda, a parede é vertical e a normal é horizontal, apontando também para $O$ .

Passo 2 — momentos em relação a $O$ . As duas normais passam por $O$ e não fazem momento em relação a ele. Sobram os pesos, que têm de se equilibrar. Com $x_Q$ a distância horizontal de $Q$ até $O$ (o braço do peso de $M$ ) e $r$ o braço do peso de $m$ :

$m\,g\,r = M\,g\,x_Q \;\Rightarrow\; \frac{m}{M} = \frac{x_Q}{r}$

Passo 3 — a geometria. Origem em $O$ , $x$ para a direita, $y$ para cima: $P = (-r, 0)$ e $Q = (x, y)$ . $Q$ está na casca e a barra tem comprimento $L$ :

$x^2 + y^2 = r^2$

$(x + r)^2 + y^2 = L^2$

Subtraindo a primeira da segunda:

$2rx + r^2 = L^2 - r^2$

$x_Q = \frac{L^2 - 2r^2}{2r}$

Passo 4 — a razão:

$\frac{m}{M} = \frac{x_Q}{r} = \frac{L^2 - 2r^2}{2r^2}$

Conferindo com casos-limite: se $L = 2r$ , a barra é um diâmetro, $Q$ é a outra borda e a fórmula dá $m/M = 1$ : simetria, como devia. Se $L = r\sqrt{2}$ , $Q$ fica bem embaixo de $O$ e a fórmula dá $m = 0$ : com $M$ no fundo, qualquer massa em $P$ desequilibraria a barra.

⚠️ A armadilha: tomar momentos em relação a $P$ ou a $Q$ , onde aparecem as normais desconhecidas. Dá para resolver, mas a conta cresce muito. O pulo do gato é perceber que as duas normais passam pelo centro e escolher $O$ como polo.

A ideia em uma frase: numa superfície esférica lisa, toda normal passa pelo centro — então, em relação ao centro, só os pesos fazem momento.

Resposta: alternativa A ( $m/M = (L^2 - 2r^2)/(2r^2)$ ).

Vídeo em breve

A resolução em vídeo desta questão ainda não foi gravada. A explicação escrita acima está completa, passo a passo. Novos vídeos saem no canal do Professor Filatte.

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