ITA 2013 — questão 20 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a energia mecânica $E$ da lua na órbita elíptica (ou a velocidade no perigeu, na alternativa E).

Passo 1 — as distâncias. O planeta está num foco. Atenção: aqui $e$ não é a excentricidade, é a distância do centro ao foco. Então a lua fica a $a - e$ do planeta no ponto mais próximo (perigeu) e a $a + e$ no mais distante (apogeu).

Passo 2 — duas equações. A lei das áreas, dada no enunciado, e a conservação da energia (a única força é a gravidade):

$$v'(a - e) = v(a + e)$$

$$\frac{v'^2}{2} - \frac{GM}{a - e} = \frac{v^2}{2} - \frac{GM}{a + e}$$

Passo 3 — achar $v'$. Da segunda: $v'^2 - v^2 = 2GM\left(\dfrac{1}{a-e} - \dfrac{1}{a+e}\right) = \dfrac{4GMe}{a^2 - e^2}$. Da primeira, $v = v'(a-e)/(a+e)$, e então $v'^2 - v^2 = v'^2\cdot\dfrac{4ae}{(a+e)^2}$. Igualando:

$$v'^2 = \frac{GM(a + e)}{a\,(a - e)}$$

Passo 4 — a energia, calculada no perigeu:

$$E = \frac{m v'^2}{2} - \frac{GMm}{a - e}$$

$$E = \frac{GMm}{a - e}\left(\frac{a + e}{2a} - 1\right)$$

$$E = \frac{GMm}{a - e}\cdot\frac{e - a}{2a} = -\frac{GMm}{2a}$$

Conferindo: numa órbita circular ($e = 0$, raio $a$), a energia é a conhecida $-GMm/(2a)$. O resultado diz que, na elipse, a energia só depende do semieixo maior, e não do achatamento.

Por que não a E: $\sqrt{2GM/(a-e)}$ é a velocidade de escape no perigeu; com ela a energia seria zero e a lua não ficaria em órbita. A velocidade certa, do Passo 3, é menor, porque $(a + e)/a < 2$.

⚠️ A armadilha: usar o semieixo menor $b$ (alternativa B) ou misturar os dois semieixos (D). Quem manda na energia da órbita é só o semieixo maior.

A ideia em uma frase: a energia de uma órbita elíptica é −GMm/(2a): igual à de uma órbita circular de raio igual ao semieixo maior.

Resposta: alternativa A ($E = -GMm/(2a)$).