ITA 2011 — questão 9 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: verificar se a velocidade inicial do enunciado tem a dimensão de velocidade, dada a expressão da aceleração.

Passo 1 — a dimensão de $\mu$. Na expressão da aceleração, $r$ é uma distância e $a^3/r^2$ também é uma distância (m³/m² = m); a soma é coerente. Para que $\mu$ vezes uma distância dê aceleração:

$$[\mu] \cdot \text{m} = \text{m/s}^2 \Rightarrow [\mu] = \text{s}^{-2}$$

Passo 2 — testando $2\sqrt{\mu a}$. Como $a$ é uma distância:

$$\left[\sqrt{\mu a}\right] = \sqrt{\text{s}^{-2}\cdot\text{m}} = \text{m}^{1/2}/\text{s}$$

Isso não é velocidade: o enunciado tem um erro conceitual.

Passo 3 — qual expressão funciona. Precisamos de m/s; com $\sqrt{\mu}$ (que é 1/s), basta multiplicar por um comprimento:

$$\left[2a\sqrt{\mu}\right] = \text{m} \cdot \text{s}^{-1} = \text{m/s}$$

Por que não as outras: A está errada porque, como vimos, $2\sqrt{\mu a}$ não é velocidade. B: $a^2\sqrt{\mu}$ dá m²/s. C: $a^2\sqrt{\mu/r}$ dá m$^{3/2}$/s. D: $\sqrt{a^2\mu/r}$ dá m$^{1/2}$/s. Só E tem dimensão de velocidade.

⚠️ A armadilha: achar que $\mu$ é adimensional (um "fator") e aceitar $2\sqrt{\mu a}$ por parecer com $\sqrt{2gh}$. Lá, $g$ é aceleração; aqui, $\mu$ é aceleração por metro, e a conta das unidades muda.

A ideia em uma frase: antes de qualquer conta, confira as unidades: se a "velocidade" não sai em m/s, o enunciado está errado.

Resposta: alternativa E (a velocidade deveria ser $2a\sqrt{\mu}$).