ITA 2011 — questão 3 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: em que pontos da queda a pessoa tem a velocidade que faz o som de 235 Hz chegar à ponte como 225 Hz.

Passo 1 — a velocidade da fonte (Doppler). O ouvinte está parado na ponte e ouve uma frequência menor que a emitida: a fonte está se afastando, isto é, descendo. Com a fonte se afastando com velocidade $v_f$:

$$f_{\text{ouv}} = f\,\frac{v_{\text{som}}}{v_{\text{som}} + v_f}$$

$$225 = 235 \cdot \frac{340}{340 + v_f}$$

$$340 + v_f = \frac{235 \times 340}{225} \approx 355{,}1$$

$$v_f \approx 15{,}1\ \text{m/s},\quad v_f^2 \approx 228\ \text{m}^2/\text{s}^2$$

Na subida a pessoa se aproxima da ponte e o som fica mais agudo que 235 Hz; então só interessam os momentos de descida com 15,1 m/s.

Passo 2 — a primeira vez: ainda em queda livre. Enquanto a corda não estica (primeiros 16,0 m), a pessoa cai livremente:

$$h_1 = \frac{v_f^2}{2g} = \frac{228{,}3}{20} \approx 11{,}4\ \text{m}$$

Como 11,4 m < 16,0 m, a corda ainda está frouxa: a conta vale.

Passo 3 — a constante elástica da corda. Entendemos "a corda se esticará até 20,0 m" como o ponto mais baixo do salto, onde a velocidade se anula. Da ponte até lá, a energia potencial gravitacional perdida vira energia elástica da deformação de 4,0 m:

$$m g \cdot 20 = \frac{k\,(4{,}0)^2}{2}$$

$$k = \frac{2 \times 80 \times 10 \times 20}{16} = 2000\ \text{N/m}$$

Passo 4 — a segunda vez: com a corda esticada. Depois de 16 m a pessoa ainda acelera um pouco (até a força elástica igualar o peso, com 0,4 m de deformação) e então vai freando até parar a 20 m. Nessa frenagem ela passa de novo por 15,1 m/s. Num ponto em que a corda está esticada de x:

$$m g\,(16 + x) = \frac{m v_f^2}{2} + \frac{k x^2}{2}$$

$$800\,(16 + x) = 40 \times 228{,}3 + 1000\,x^2$$

$$1000\,x^2 - 800\,x - 3666 = 0$$

$$x = \frac{0{,}8 + \sqrt{0{,}64 + 14{,}66}}{2} \approx 2{,}36\ \text{m}$$

$$h_2 = 16 + 2{,}36 \approx 18{,}4\ \text{m}$$

A outra raiz da equação é negativa e não tem sentido físico.

Conferindo a leitura do enunciado: se os 20,0 m fossem a posição de equilíbrio (k = mg/4 = 200 N/m), a segunda posição sairia em torno de 27 m, valor que não aparece nas alternativas. A leitura de 20,0 m como alongamento máximo é a que faz sentido.

⚠️ A armadilha: parar no Passo 2 e marcar só 11,4 m (alternativa A). A velocidade de 15,1 m/s na descida aparece duas vezes: uma acelerando, em queda livre, e outra freando, com a corda esticada.

A ideia em uma frase: o Doppler dá a velocidade da fonte, e a conservação da energia diz em que alturas a pessoa desce com essa velocidade: uma vez acelerando e outra freando.

Resposta: alternativa C (11,4 m e 18,4 m).