ITA 2011 — questão 4 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o que acontece com o ano (Terra mais perto do Sol) e com a distância Terra-Lua (mês de 80 dias).

Passo 1 — o ano. Pela terceira lei de Kepler, para corpos orbitando o mesmo astro central, $T^2/r^3$ é constante. A Terra continua orbitando o Sol, agora com raio menor: o período (o ano) fica mais curto.

Passo 2 — a distância Terra-Lua. A Lua continua orbitando a mesma Terra (a massa da Terra não muda), então vale a mesma lei para a Lua, antes e depois. O mês lunar passa de cerca de 27,3 dias para 80 dias:

$$\frac{r_{\text{depois}}}{r_{\text{antes}}} = \left(\frac{T_{\text{depois}}}{T_{\text{antes}}}\right)^{2/3}$$

$$\left(\frac{80}{27{,}3}\right)^{2/3} = (2{,}93)^{2/3} \approx 2{,}0$$

A distância Terra-Lua fica aproximadamente duas vezes a de antes.

Conferindo: se você usar o ciclo das fases da Lua (cerca de 29,5 dias) em vez do período sideral, a razão sai $(80/29{,}5)^{2/3} \approx 1{,}9$: de novo, cerca de 2. Ordem de grandeza firme: o período quase triplicou, e $3^{2/3} \approx 2{,}1$.

Por que não as outras: um período maior exige órbita maior, então "metade" (A, D) e "um quarto" (E) estão fora; e o ano fica mais curto, não mais longo (D, E). "Quatro vezes" (C) exagera: seria o caso se o período ficasse 8 vezes maior ($4^{3/2} = 8$).

⚠️ A armadilha: tratar a distância como proporcional ao período (r ∝ T), o que daria quase o triplo. A lei de Kepler liga o quadrado do período ao cubo do raio.

A ideia em uma frase: em torno do mesmo astro, T² ∝ r³: órbita menor, ano mais curto; mês três vezes mais longo, Lua cerca de duas vezes mais longe.

Resposta: alternativa B (ano mais curto; distância Terra-Lua cerca de duas vezes maior).