ITA 2011 — questão 7 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a amplitude $x_0$, sabendo que, saindo do extremo, a partícula anda $a$ no 1º segundo e $b$ no 2º, sempre no mesmo sentido.

Passo 1 — a equação horária. Começando no ponto de máximo afastamento, a posição medida a partir de O é:

$$x(t) = x_0 \cos(\omega t)$$

Como o sentido não se inverte nesses 2 s, as distâncias percorridas são simples diferenças de posição:

$$x(1) = x_0 - a = x_0 \cos\omega$$

$$x(2) = x_0 - a - b = x_0 \cos 2\omega$$

Passo 2 — eliminando $\omega$. Use $\cos 2\omega = 2\cos^2\omega - 1$, com $\cos\omega = (x_0 - a)/x_0$:

$$x_0 - a - b = \frac{2(x_0 - a)^2}{x_0} - x_0$$

Multiplicando por $x_0$:

$$x_0^2 - (a+b)x_0 =$$

$$= 2x_0^2 - 4a x_0 + 2a^2 - x_0^2$$

$$(3a - b)\,x_0 = 2a^2$$

$$x_0 = \frac{2a^2}{3a - b}$$

Conferindo com números: pegue $x_0 = 2$ e $\omega = \pi/3$ rad/s. Em $t = 1$ s, $x = 2\cos 60^{\circ} = 1$, então $a = 1$; em $t = 2$ s, $x = 2\cos 120^{\circ} = -1$, então $b = 2$. A fórmula dá $2 \cdot 1^2/(3 - 2) = 2$. Confere.

⚠️ A armadilha: escrever $x = x_0\,\text{sen}(\omega t)$, como se a partícula partisse do centro. Ela parte do extremo, onde a velocidade é zero; com seno, as contas levam a outra relação e a nenhuma alternativa correta. Testar uma alternativa com o exemplo numérico acima também elimina rápido as erradas: B dá $8/2 = 4$, E dá $4/(-1)$, negativo.

A ideia em uma frase: partindo do extremo, x = x₀ cos ωt; as posições em 1 s e 2 s, ligadas por cos 2ω = 2cos²ω − 1, eliminam ω e dão a amplitude.

Resposta: alternativa C ($x_0 = 2a^2/(3a - b)$).