ITA 2011 — questão 15 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: a ddp entre N e P quando se aplica $V$ entre os vértices M e Q, extremos de uma diagonal do cubo.

Passo 1 — as camadas do cubo. Tome M com potencial 0 e Q com potencial $V$. Os três vértices ligados a M (entre eles N) são equivalentes por simetria: todos têm o mesmo potencial $V_1$. Os três vértices ligados a Q (entre eles P) também: potencial $V_2$. Cada vértice da primeira camada liga-se a M e a dois da segunda; cada um da segunda liga-se a Q e a dois da primeira.

Passo 2 — conservação da carga nos nós. Os capacitores começam descarregados, e as placas ligadas a um vértice interno formam um condutor isolado: a soma das cargas nelas é zero. Com $q = C\,\Delta V$, num vértice da primeira camada:

$$C(V_1 - 0) + 2C(V_1 - V_2) = 0$$

$$3V_1 = 2V_2$$

E num vértice da segunda camada:

$$C(V_2 - V) + 2C(V_2 - V_1) = 0$$

$$3V_2 = V + 2V_1$$

Passo 3 — resolvendo. Substituindo $V_1 = 2V_2/3$:

$$3V_2 = V + \frac{4V_2}{3} \Rightarrow V_2 = \frac{3V}{5}$$

$$V_1 = \frac{2V}{5}$$

N está na primeira camada e P na segunda:

$$V_P - V_N = \frac{3V}{5} - \frac{2V}{5} = \frac{V}{5}$$

Conferindo: o mesmo cubo com resistores iguais é um problema clássico: a corrente que sai de M se divide em 3, cada ramo se divide em 2 no meio e tudo se junta de novo em 3 até Q. As quedas de tensão ficam na proporção $\frac{1}{3} : \frac{1}{6} : \frac{1}{3}$, isto é, $\frac{2V}{5}, \frac{V}{5}, \frac{2V}{5}$. Com capacitores iguais a divisão é a mesma, porque a carga faz o papel da corrente.

⚠️ A armadilha: achar que a tensão se divide igualmente entre as três arestas de qualquer caminho de M a Q e marcar $V/3$ (alternativa B). A aresta do meio tem "mais caminhos em paralelo" (seis, contra três nas pontas), e por isso fica com menos tensão.

A ideia em uma frase: na diagonal do cubo, a simetria agrupa os vértices em camadas, e a conservação de carga nos nós divide V em 2/5, 1/5 e 2/5.

Resposta: alternativa D ($V/5$).