ITA 2011 — questão 12 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o diâmetro da mancha de luz na parede, depois que o feixe de 1 cm atravessa a face curva e percorre o vidro até a face plana.

Passo 1 — onde o feixe convergiria. A face curva é convexa para o lado da luz e passa do ar (n = 1) para o vidro (n = 3/2): ela faz os raios convergirem. Para um único dioptro esférico com objeto no infinito (raios paralelos), a equação de Gauss do dioptro é:

$$\frac{n_1}{p} + \frac{n_2}{p^{\prime}} = \frac{n_2 - n_1}{R}$$

$$0 + \frac{1{,}5}{p^{\prime}} = \frac{0{,}5}{10} \Rightarrow p^{\prime} = 30\ \text{cm}$$

Os raios convergiriam para um ponto a 30 cm do vértice da face curva, dentro do vidro.

Passo 2 — a mancha na parede. A face plana (e a parede) fica a 10 cm do vértice, porque passa pelo centro do hemisfério. O feixe é um cone que afina linearmente de 1 cm (no vértice) a zero (a 30 cm). A 10 cm do vértice faltam 20 cm para o foco:

$$d = 1\ \text{cm} \times \frac{30 - 10}{30} = \frac{2}{3}\ \text{cm}$$

Conferindo pela lei de Snell: um raio a uma altura $h$ do eixo bate na esfera com ângulo de incidência $\theta_1 = h/R$ (a normal passa pelo centro). Ele refrata com $\theta_2 = \theta_1/n = 2h/(3R)$ e, portanto, desvia $\theta_1 - \theta_2 = h/(3R)$ em direção ao eixo. Andando cerca de $R$ até a parede, desce $R \cdot h/(3R) = h/3$ e chega à altura $2h/3$. Com $h = 0{,}5$ cm, o diâmetro da mancha é $2 \times 2 \times 0{,}5/3 = 2/3$ cm.

⚠️ A armadilha: usar a fórmula do foco de uma lente plano-convexa, $f = R/(n-1) = 20$ cm. Ela vale para a luz que sai de novo para o ar, o que não acontece aqui (a luz para na parede, dentro do vidro). Com 20 cm, a mancha teria $1 \times (20 - 10)/20 = 1/2$ cm, a alternativa C.

A ideia em uma frase: a face curva sozinha é um dioptro: ela leva o feixe a convergir 30 cm adiante, e a parede, a 10 cm, corta o cone quando ele tem 2/3 do diâmetro original.

Resposta: alternativa B (2/3 cm).