ITA 2011 — questão 1 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: quanto tempo os seis objetos levam para se encontrar e quanto cada um anda até lá.

Passo 1 — a figura não se deforma. Pela simetria, os seis objetos fazem sempre a mesma coisa: a cada instante eles continuam nos vértices de um hexágono regular, que vai encolhendo e girando, até todos se encontrarem no centro. Então basta acompanhar um par de vizinhos, A e B.

Passo 2 — a rapidez com que o lado encolhe. A velocidade de A aponta para B, ao longo do lado AB: A se aproxima de B com 2,00 m/s. Já B corre na direção do lado BC, que faz 60° com o prolongamento de AB (o ângulo externo do hexágono). A componente da velocidade de B ao longo de AB é $v\cos 60^{\circ}$ e o afasta de A. A taxa de encurtamento do lado é:

$$v_{\text{aprox}} = v - v\cos 60^{\circ}$$

$$v_{\text{aprox}} = 2{,}00 - 1{,}00 = 1{,}00\ \text{m/s}$$

Como a figura continua sendo um hexágono regular, esse ângulo de 60° não muda, e a taxa é constante durante todo o movimento.

Passo 3 — o tempo e a distância. O lado vai de 10,0 m a zero a 1,00 m/s:

$$t = \frac{10{,}0}{1{,}00} = 10{,}0\ \text{s}$$

Cada objeto anda o tempo todo com 2,00 m/s (numa espiral, não em linha reta):

$$d = v\,t = 2{,}00 \times 10{,}0 = 20{,}0\ \text{m}$$

Conferindo por outro caminho: no hexágono regular, o centro e dois vértices vizinhos formam um triângulo equilátero, então a distância do vértice ao centro é igual ao lado (10,0 m) e o raio faz 60° com o lado. A componente da velocidade apontando para o centro é $v\cos 60^{\circ} = 1{,}00$ m/s, e o tempo para chegar ao centro é $10{,}0/1{,}00 = 10{,}0$ s. Mesmo resultado.

⚠️ A armadilha: errar o ângulo entre a velocidade e o raio e usar 30° no lugar de 60°. A componente radial viraria $2{,}00\cos 30^{\circ} \approx 1{,}73$ m/s, o tempo $10{,}0/1{,}73 \approx 5{,}8$ s e a distância $2{,}00 \times 5{,}8 \approx 11{,}5$ m: é a alternativa A.

A ideia em uma frase: na perseguição mútua, o lado do polígono encolhe com a velocidade do perseguidor menos a projeção da velocidade do perseguido, v(1 − cos θ), e isso é constante.

Resposta: alternativa C (10,0 s e 20,0 m).