ITA 2011 — questão 6 de Física

Resolução comentada

O que a questão pede: o menor tempo para levar o corpo do repouso ao repouso, subindo $H$, sem que a tração passe de $nMg$.

Passo 1 — a melhor estratégia. Para ganhar tempo, o corpo deve acelerar para cima o máximo possível e depois frear o máximo possível. Acelerando, a tração máxima dá:

$$nMg - Mg = M a_1 \Rightarrow a_1 = (n-1)\,g$$

Para frear, a corda não pode empurrar: o mínimo de tração é zero, e aí a única força é o peso, com desaceleração $g$. No gráfico $v \times t$ isso é um triângulo com os lados mais inclinados possíveis; a área (a altura $H$) fixa, o triângulo mais "pontudo" é o de menor base, isto é, menor tempo.

Passo 2 — a velocidade máxima. Chamando de $v$ a velocidade no fim da aceleração, as distâncias das duas fases somam $H$:

$$H = \frac{v^2}{2(n-1)g} + \frac{v^2}{2g}$$

$$H = \frac{v^2}{2g} \cdot \frac{n}{n-1}$$

$$v^2 = \frac{2gH(n-1)}{n}$$

Passo 3 — o tempo total.

$$t = \frac{v}{(n-1)g} + \frac{v}{g} = \frac{v}{g} \cdot \frac{n}{n-1}$$

$$t^2 = \frac{2gH(n-1)}{n} \cdot \frac{n^2}{g^2 (n-1)^2}$$

$$t = \sqrt{\frac{2nH}{(n-1)\,g}}$$

Conferindo nos casos-limite: se $n \to \infty$ (corda indestrutível), o corpo ganha velocidade num instante e sobe freando só pela gravidade: $t \to \sqrt{2H/g}$, que é o tempo de subida de um lançamento vertical até a altura $H$. Se $n \to 1$, a corda mal sustenta o peso, a aceleração tende a zero e $t \to \infty$. A fórmula acerta os dois limites.

⚠️ A armadilha: esquecer que o corpo tem que parar em $H$ e acelerar o tempo todo: $H = (n-1)g\,t^2/2$ dá $t = \sqrt{2H/((n-1)g)}$, que é a alternativa A. Esse tempo é menor que o certo, mas o corpo chegaria a $H$ em movimento.

A ideia em uma frase: tempo mínimo é acelerar com a tração máxima e depois deixar a gravidade frear sozinha (tração zero), até parar exatamente na altura H.

Resposta: alternativa B ($\sqrt{2nH/((n-1)g)}$).